ケーキを食べる

 次の問題を提示します。

「たかし君はケーキが大好きです。たくさん食べたいたかし君は，３種類のケーキのどれを選ぶか迷っています」

板書にあるような３種類のケーキの箱を提示します。すると，子どもの声がつながります。

「たくさんってどういうこと？」

「『たくさん食べたい』と書いてあるから，ケーキの大きさのことでしょ」

「それなら①が大きい」

「同じじゃない？」

「③が大きいよ」

「隙間で考えたら，③は隙間の数が多いからケーキの面積も小さくなる」

「①の隙間は大きくて，③の隙間は小さい」

「③は真ん中の方にも隙間がある」

隙間の視点が生まれてきました。子どもの予想にはズレが生まれました。そこで，計算で面積を求めます。

結果は，いずれも282.6㎠で等しくなりました。たかし君はどのケーキを選んでも，たくさん食べられるのです。この結果から，「箱の大きさが同じなら，同じ面積になる」という事実が見えてきます。

すると，次の声があがります。

「でも，こんな形のケーキになっても面積は同じになるの？」

正方形の１本の対角線上に最大値になる円を２個入れるという考えです。このように作図を行うと，それ以上は同じサイズの円は入る余地はなさそうです。果たして，この場合もケーキの面積は等しくなるのでしょうか？

実際に作図を行い，確かめます。ところが，対角線上に正方形に内接する最大値になる円を作図するのに，かなりの苦労をしました。最終的に半径1.7㎝に円がぴったりと入りそうだということが見えてきました。

この長さで面積を求めると，結果は18.1492㎠となります。先ほどよりも小さくなりました。この事実から，縦横の個数が2乗できる場合のケーキの詰め方の時のみ，面積が等しくなることが見えてきました。

円の面積を求める！

 「円の面積は正十六角形よりも本当に大きいのでしょうか」

前回の続きです。周りの辺の長さ３２㎝の図形の面積を考えていました。

まずは，正十六角形の面積を確認します。

（３２÷１６）×５÷２×１６＝８０（㎠）

すると「１６は意味がない」と声があがります。「÷１６」と「×１６」で相殺するので，この部分の式が省略できるという声です。すると，先ほどの式は次のように変身できます。

３２×５÷２

さらに，この式を言葉の式に置き換えると，次のように変わります。

周りの長さ×高さ÷２

この式を見た子どもから，「短縮した」「すっきりした」と声があがります。

次は，円の面積です。「カットして求めたらいい」と声があがります。円の内部をピザのように分割していくアイディアです。このアイディアを巡って声が続きます。

「底辺部分が少しカーブしている」

「小さくしたら，ほぼ直線だよ」

この両者の議論がしばらく続きます。すると「だったら，あれが使える」という声があがります。何かに気づいたのです。「あれ」とはなんでしょうか。

「あれ」とは，先ほどの「周りの長さ×高さ÷２」の言葉の式です。ここに円の条件を当てはめるという考です。「周りの長さ」は「円周」，「高さ」は「半径」に置き換えられます。すると，３２×5.1÷２＝81.6（㎠）と計算でも求められます。計算上は円の面積が大きいことが見えてきました。

円の求積の場合，先ほどの言葉の式は次のように置き換えられます。

①円周×半径÷２

すると「短くなった」と声が上がります。しかし，「円周って直径×3.14」の声もあがります。この声から式を変形していくと，次のようになります。

直径×3.14×半径÷２＝②半径×半径×3.14

シンプルな①②の式で，計算上は面積が求められそうです。しかし，「やっぱり確かめないと分からない」と声が上がります。そこで，円をピザ状に分割して並べ替えることにしました。

結果は，平行四辺形に変身することができました。言葉の式に置き換えると次のようになります。

円周の半分×半径＝直径×3.14÷２×半径＝半径×半径×3.14

図の並び替えからも，先ほどの同じ式が見えてきました。