2022年6月25日土曜日

棒グラフからドットプロットへ

 1組・2組のじゃんけん大会結果を比較した際に,子どもから「グラフにすると分かりやすくなる」と声があがりました。そこで,この時間はグラフを使って結果を表現することにしました。

子どもたちに「どんなグラフにしたらいいかな?」と尋ねます。円グラフ・棒グラフ・折れ線グラフと,先ずはグラフの種類を指摘する声が聞こえてきました。しかし,それに続いて次の声が聞こえてきます。

「円グラフは割合を表すから,今回は違うよね」

「棒グラフはいいよね」

「折れ線グラフは,変化を表すでしょ。じゃんけん大会は変化じゃないから違うね」

子どもたちは,各グラフの特徴をよく理解しています。その上で,どのグラフを使うことが妥当なのか判断してきました。

そこで,棒グラフで2組の結果を表現します。グラフが完成すると,5回勝利が最頻値であるこが一目瞭然となりました。また,5回を中心に左右対称のグラフになっていることも見えてきました。

子どもたちが棒グラフでイメージした表現方法は,6年生で学習するドットプロットと似ている部分がかなりあります。ここでドットプロットを教えます。1組の結果を,ドットプロットで表現させます。

子どもからは,「〇を描いていく方が簡単」「〇を見ると,目盛りがなくても何回かすぐにわかる」「でも,100回とかだと〇は大変。棒グラフだと一気に描けて簡単」と声があがりました。問題場面に応じて,グラフを使い分ける必要性に気付く声も生まれてきました。



2022年6月23日木曜日

勝ったのはどっち?

 6年生「資料の調べ方」の学習です。子どもたちは事前に隣同士でジャンケンを10回行い,その結果を報告しています。

子どもたちに次のように投げかけます。

「1組と2組,ジャンケンが強いのはどちらの組でしょう」

これだけでは判断はできません。子どもからは,「2組の結果がほしい」「平均?」と声が聞こえてきました。そこで,次のように投げかけます。

「平均と言っている人がいるけど,気持ちは分かるかな?」

子どもたちは,次のように説明をしてきました。

「1人あたりの勝った回数で比べれば分かる」

そこで,各クラスの平均を求めていきます。その結果,1組も2組も5回となりました。結果は引き分けです。平均という視点で見ると,引き分けということになります。

この結果を見た子どもたちは,なんとか自分のクラス(1組)を勝たせたいと考えました。そこで生まれてきたのが,次のアイディアでした。

「6回以上勝った人の人数で調べたらいい」

5回は引き分けなので,完全に勝ったといえる6回以上の総数で比較するアイディアです。この視点で調べていきます。

結果は,1組が11人,2組が9人となり1組の勝利となりました。

さらに1組を勝たせるアイディアが生まれてきました。

「勝った回数の一番多いもので比べる」

各クラスの最高値で比較するアイディアです。1組は10回,2組は9回が最高値です。この視点からも,1組の勝利が見えてきました。1組の子どもたちは満足していますが,今度は「2組を勝たせる方法はないかなあ?」と優しい声も聞こえてきました。

「1番少ない回数で比べたらいい」

この視点だと,1組は0回,2組は1回です。2組の勝利が見えました。

「5回未満の人数で比べたらいいよ」

この視点で比べると,1組は11人,2組は9人です。少ない方が有利なので2組の勝利です。しかし,この見方に対しては,「でもこれって,6回以上が1組11人で2組9人と同じ事だから,2組が勝ちでいいというのは違うかな?」という違和感の声が聞こえてきました。

すると,2組を完全に勝利に導く視点が生まれてきました。

「5回の人の人数が,2組は多い」

5回勝利の人数で比較します。1組は8人,2組は12人です。この視点だけで比べると,2組の圧勝です。この視点は,「最頻値」でデータを見直したことにつながります。

ジャンケン大会の結果を活用して,データを見る様々な視点を引き出すことができた時間となりました。





2022年6月22日水曜日

価値付けは記憶に残る

 本校は大学までの一貫校です。中等部は同じ校舎にあります。先日,初等部6年生が中等部2年生の授業を参観する機会がありました。子どもたちを引率して教室に入ると,そこには初等部の時に私が算数を教えた子どもたちの姿もありました。私を見つけた子どもたちからは,

「あっ!尾﨑先生だ!」

「『すばら』懐かしい!」

「また『すばら』下さい」

などの声が聞こえてきました。「すばら」とは,子どもから生まれてきた見方・考え方が価値あるものだった場合に,私がホワイトボードに大きく「すばらC」というマークを板書し賞賛した印です。子どもたちは,この体験を鮮明に覚えていたのです。なかには,紙を差し出して「ここに『すばら』を書いて下さい」と懇願する子どももいました。もちろん書きましたけどね・・・。

授業の中で子どもの考え方を価値付けること・褒めていくことは,時間が立っても彼らの記憶に確実に残っていくことを証明する出来事でした。

価値ある見方・考え方が生まれた際には,大いにそれを価値付け,褒めていきましょう。できれば,先生方なりの褒め褒めマークがあるといいですね。本校の先生の中には,私の「すばら」マークを自分なりにデザインして板書する先生もいます!

2022年6月12日日曜日

あまりは?

 分数のわり算の時間です。次の問題を提示します。

「2.1/5Lのジュースがあります。2/5Lずつびんに分けます。びんは何本できて,何Lあまりますか」

立式から計算を行う場面まではスムーズに進みました。

「2.1/5÷2/5=5.1/2」

この計算結果から,子どもたちは「5本に分けられて,1/2Lあまる」と考えました。いずれの数値も前述の分数のわり算の答えにあるものです。子どもたちも,この答えに納得です。

ところが,「あまりがおかしい」という声があがってきます。この声に対して,

「なんで」

「なにがおかしいの? 説明して」

「答えに5と1/2があるんだから,これでいいんだよ」

と猛反発の声があがります。目の前に見えている数値は「5.1/2」しかないのですから,当然の反応です。これらの声を踏まえて,今度は「図を描いたら分かる」と声があがります。これまでの分数の学習では,最後は図で答えの真偽を確かめてきました。その経験が生きてきました。

ノートに作図を行います。ところがしばらくすると,「うまく描けない」という声が聞こえてきました。これまでに彼らが経験してきた図は,1当たり量を求めるものです。しかし,今回はそれとは異なります。包含除の問題場面です。

そこで,別のタイプの図を描いている子どもの図の一部をお手本として板書します。この図を頼りに,続きを全員で考えていくことにしました。

図が完成すると,あまりの部分は「1/2L」ではなく「1/5L」になることが見えてきました。そうなるとわり算の答えの分数部分の「1/2」は何かということが,子どもたちの新たな疑問となります。この疑問を乗り越える場面は,時間をかけて展開していきました。

「2/5の半分(1/2)だから,答えが1/5Lになる」

「2/5L入りのびんに入れるのが問題。1/2というのはその半分だけあまるということ」

「2/5Lのびんの中の半分だけあまる(図を描きながら)」

「(テープ図をさらに伸ばしながら)6本目のびんがあるとすると,6本目のびんの半分だけジュースが入るから,それが1/2」

「式でも分かります。2/5Lの1/2だから,2/5×1/2=1/5Lとなる」

答えに現れた1/2は水の量を表す数ではなく,わる数の割合を表していることを見つけていくことができました。



2022年6月11日土曜日

分子が・・・

 子どもたちに次の問題を提示します。

「2/3分で1/4Lのアイスティーを作るマシンがあります。1分では何Lのアイスティーを作ることができるでしょうか」

式は1/4÷2/3となります。この計算は,1/4を倍分することで計算ができることは既習です。従って,(1×6÷2)/(4×6÷3)=3/8(L)と計算ができます。念のために,図でこの計算結果が正しいのかを確認します。この図が子どもには難しいですね。筑波大附属小の夏坂先生もご講演の中で「分数の面積図は難しい」とおっしゃっていましたが,まさにその通りです。

さて,面積図でも答えが3/8(L)になることを確認することができました。ところが,計算の際に倍分を行ってからわりざんを行う手続きに対して,前回の学習から「めんどうだ」と声があがっていました。そこで,この声を子どもたちに投げかけます。

「倍分すると面倒だという人がいたね。だったら,なにかいい方法はあるかな?」

するとM男が声をあげます。

「分子の計算の6÷2は3になる」

この説明で,「あー」と納得の声やその先の説明を予測する声が聞こえてきました。一方,まだM男の気持ちが見えていない子どもたちもいました。そこで,この部分をていねいに展開していきます。

「同じように分母の6÷3は2になる」

「そうすると式は,(1×3)/(4×2)になって,÷3/2の分母と分子が反対になった」

「逆数をかけるということになる」

倍分による式変形の中から,逆数をかける計算につながる部分をM男は見つけてきたのです。じっくりと式を見つめたよい視点でした。

この他にも,次のような見方も生まれてきました。

「前の分数÷整数の勉強で÷3→×1/3だったのは,÷3/1→×1/3と考えたらすでに逆数をかけることになっていた」

「1/4÷2/3=(1/4)/(2/3)と考え,倍分方式で2/3をかけると分母が消えて,1/4×2/3になる」

「2/3分を1分にする問題だから,4ます関係表のように考えると,2/3分に3/2をかければ1分になるから,式は2/3×2/3になる」

分数のわり算を逆数をかける式に変身して計算を行ってもよい意味を,式の中や問題の意味から見いだすことができた時間となりました。





2022年6月9日木曜日

図の中に4/6Lが見えないのはなぜ?

 前回の学習では,「4/6÷2/3=1」の図の中に割られる数の4/6Lが見えないことが問題点となりました。そこで,前回の図を見直すところからスタートします。

子どもたちは,問題文を見直します。

「最初は2/3分で4/6Lだから,まだ1分に行っていない。だから,2/3分までを見る」

「2/3分で4/6L作るということは,2/3分で1Lの中の4/6Lということ」

「2/3分までを見たら,1Lの中にある小さな部屋は1/12Lになる」

「赤いところは,1/12Lが8個分だから8/12L=4/6L」

これで問題場面と図が合致しました。前回は,1Lの範囲を図全体と勘違いしていたのです。そのために,一番小さな部屋の大きさも勘違いしたのです。

実は,もう1つ子どもたちが勘違いしていたことがあります。それを子どもたちに投げかけます。

「1分たったらココアはどこまで増えるの?」

前回の子どもたちは,図全体で1Lだと考えました。しかし,この捉えが間違っているのです。しばらくすると,子どもたちが動き出します。

「横に増える」

「2/3Lの横に増えていく」

「1/3L,2/3L,3/3Lとどんどんどんと増えていく」

子どもたちは,ジェスチャーを使いながら赤く塗られた4/6の部分が横に増えていくことを表現してきました。1分で作られるココアの量は,色が塗られた全体部分です。この大きさは,1/12Lが12個分なので,12/12L=1Lとなります。これも計算での答えとも合致します。

分数のわり算場面を図に置き換える難しさや,わることの意味を考えていくことができた時間となりました。

また,子どもの誤答の論理を一旦受け止め,そのまま展開していき,最後にその論理の間違いに気付かせるという展開も試みてみました。




2022年6月8日水曜日

あれ? ちがう!

 分数÷分数の導入場面です。子どもたちに次の問題を提示します。

「2/3分で4/6Lのココアを作るマシンがあります。1分では何Lのココアを作ることができますか」

4ます関係表を使って,式は4/6÷2/3になることを見出していきました。

次に,この計算方法を考えます。子どもからは,「前と同じだ」という声があがります。そこで,この声の意味を共有していきます。

「分数のかけ算と同じ」

「かけ算は,分子×分子,分母×分母だったから,わり算も同じように分子÷分子,分母÷分母を計算すればいい」

「かけ算は『かけるかける方式』だったけど,わり算は『わるわる方式』でできる」

子どもたちは,分数のわり算もかけ算と同じように計算ができると考えました。そこで,この方法で計算を行います。結果は「2/2L」ですので,「1L」となりました。ところが,この結果を見た子どもから,「本当に合っているの?」と声があがります。

そこで,図で答えの確認を行います。ところが,この作図が難問でした。どう作図したらよいのか悩む子どもがたくさんいました。

そこで,先ずは「2/3分で4/6Lのココアを作るマシン」の部分を作図します。これは簡単にできました。問題は,1分になった図です。最終的に子どもたちが考えたのが,右図です。さらに,この中の1分で作られるココアの範囲を青の部分だと考えました。

そこで,この青の部分が何Lかを考えます。

「一番小さいますは,1/18L」

青の内部は18分割されています。そこから来た考えです。そうなると,青は1/18Lが18個分ですから,1Lとなります。計算の答えと合致します。子どもたちは納得をしています。

ここで子どもからは,「÷2/3をしているのに,答えが増えるのは変だ」と声があがります。これについては,「1分当たりを求めるから合ってる」と声があがりました。わり算なのに答えが増えることに違和感を抱いたのです。しかし,これは解決します。

さて,ここで次のように子どもたちに投げかけます。

「最初の図をもう1回見てみよう」

2/3分の図を見直します。1ますが1/18Lだと考えると,2/3分の部分は8/18L=4/9Lとなります。本当は4/6Lのはずなのに,異なる大きさとなります。この結果に,子どもから「あれ?」「違う」と戸惑いの声があがります。いろいろと考えましたが,この時間では解決には至りませんでした。一体,どこがおかしいのでしょうか?