2019年2月20日水曜日

直方体の展開図も11個?

 4年生「立方体と直方体」の学習では,それぞれの展開図を作成します。子どもたちは,前の時間までに立方体の展開図は11個あることを発見しました。実際に作図を行い,11個で間違いないことを確認しました。

次に,「直方体の展開図は何個あるかな」と子どもたちに投げかけます。子どもたちは次のように考えます。

「11個だよ」
「立方体が11個だったから,同じでしょ」
「直方体は立方体を少しつぶしただけだから,同じ数になるよ」
「でもさあ,立方体の面は全部正方形で同じ形でしょ。でも,直方体の面はいろいろな形があるから,11個よりはもう少し多いんじゃないかな」

多くの子どもの予想は11個です。一部の子どもは,11個より少し多い予想でした。

そこで,本当に11個なのかを展開図をノートに作図することで確かめます。前時までの立方体の展開図を参考にする子どもの姿も見られました。

さて,展開図を作図するなかから「太いのと細いのがある」「だから2倍だ」「だから11個より多いはず」と隣同士で話し合う声が聞こえてきました。そこで,その子どもたちの図を板書します。右の図です。そして,次のように投げかけます。

「この図を描いた2人が,直方体の展開図は11個よりも多いはずだと言っています。その気持ちはわかるかな」

子どもたちは,板書された展開図を見つめます。やがて,子どもの話し合いが始まります。

「どちらもTの字型だ」
「Tの字型が2種類ある」
「(立方体の展開図を板書しながら)立方体にもTの字の展開図はあった。でも,それはこの形しかなかった。でも,直方体ではTの字が2種類あるからもっと多くなる」
「1つの形で2種類あれば,11×2で22種類になるよ」
「でも,他のパターンでは1種類だけかもしれないから,22種類とは限らないよ」

子どもたちは,2人の太タイプ・細タイプのTの字型展開図をもとに,直方体の展開図は11種類よりはかなり多くなりそうだと考え始めました。

この後,さらに展開作りを進めていきます。やがて,「こんなTの字のありました」と右図のような展開図を見つけた子どもも現れました。この時点で,Tの字型は3種類になりました。他の展開図も同じように見つかれば,11×3で33種類あることになりそうです。

直方体も立方体も同じ展開図の種類数だと多くの子どもは考えていました。ところが,実験を進める過程で新たな視点を発見することで,直方体の展開図がかなり多くなることを発見した1時間でした。




2019年2月19日火曜日

ひきざんの□を使う式は難しい?

 3年生「を使った式」のその後です。子どもたちに,次のように投げかけます。

「式を見て,どんなお話ができるか見えるかな?」

子どもに提示した式は,「−51=34」です。子どもたちは,次のようなお話を作りました。

「バスに何人か乗っていました。次のバス停で51人降りました。バスに残った人は34人でした」

このお話は,「−51=34」になります。その後,□の数を求めました。子どもたちは,テープ図を使いながら,「51+34=85」で□が84人であることを求めていきました。

次に提示したのは,「59−=35」の式です。この式に合うお話を考えさせました。

「バスに59人乗っていました。次のバス停で何人か降りました。バスに残っているのは35人でした」

先ほどの問題ができれば,これは簡単です。そこで,が何人になるか求めさせました。すると,子どもの反応は2つに分かれました。

① 59+35=94
② 59−35=24

①の式を考えた子どもには,彼らなりの論理があります。

「だって,さっきの問題もはたしざんで求めたでしょ。だから,この問題もたしざんで計算した」
「ひきざんの反対はたしざんだから」

最初の問題は,のあるひきざんでした。その問題では,を求めるためにたしざんを使ったのです。今回も,のあるひきざんです。そのため,それと同じ考え方が適用できると考えたのです。
①のたしざんを考え子どもたちは,②の式の意味がすぐには理解できませんでした。最終的に,彼らが納得したのはテープ図を使った説明でした。

「さっきの問題はテープ図全体がわからないから□にした。全体の中の51人と34人のところは分かっているから,この2つをたした。でも,この問題は全体は59人とわかっている。この全体の中の35人のところも分かっている。わからないのは左の□のところ。だから,59から35をひく」

同じテープ図表現でも,最初の問題と今の問題ではの位置が異なっているのです。①と考えた子どもは,問題場面を最初と同じだと勘違いしたのです。の部分が図のどこに位置付くのかが,2つのテープ図を比較することで明確になったのです。

目の前の図と式と問題文だけでなく,それ以前に学習した図と式と問題文とも比較することで,理解が一気に進むことが実感できた1時間でした。


2019年2月17日日曜日

子どもの発想は過去とつながる

 3年生の子どもたちと,かけ算の筆算の学習を進めていました。

「百の位のかけ算もできるかな」

子どもたちは「簡単だよ」「できるかな」と,様々な声をあげながら百の位の筆算に挑戦をしていきます。
右のように筆算が板書されました。これを見た子どもたちから,「おもしろいことがある」「階段がある」と声があがります。この声をクラス全体で共有していきます。

「筆算の123,2460,16900の左が階段になっている」
「えっ,そこ?」
「右が階段でしょ」
「下に行くと,0が1つずつ増えていく」
「0が増える理由が分かった。123は123×1の答え。2段目の2460は123×20の答え。×20だから0が1つ増える。3段目の36900は123×300の答え。×300だから0が2つ増える」

子どもたちは,各位の計算部分の0が次第に増えていくことを発見しました。さらに,その理由を発見していくこともできました。
子どもの追求はさらに続きます。

「だったら,もう1つ下の位になると0はまた1つ増える」
「筆算が下に行けば行くほど,0がどんどん増えていく」

ここで,K子がノートをめくる姿が目に入ります。K子は過去の学習のある部分を探していたのです。K子が説明します。

「それって,№72に勉強でやったことと同じだと思う。№72では1876×7の計算をしたでしょ。そのとき,0が下に行くほど1つずつ増える計算をしたでしょ。その勉強と今の勉強は同じだよ」

K子が見つけた№72の学習場面は,かける数が1位数までの学習でした。その学習と,今回のかける数が2位数以上の学習には共通点があることを発見したのです。K子は№72の学習でも,0が階段状に増えていくきまりを発見していました。その発見を私から褒められたことを覚えていたのです。その記憶が,この場面で一気に蘇り,目の前の学習とつなげて考えることができたのです。

算数の学習は,既習の積み上げ展開していきます。各学習場面で,核となる見方・考え方を教師が価値づけたり賞賛したりしておくことが,その後の学習にリンクしていくことが見えた瞬間でもありました。

2019年2月16日土曜日

3年「□を使った式」の導入

3年生の子どもたちに次のように投げかけます。

「チョコレートは横に何個並んでいるでしょう」

封筒の中からチョコレートの図を右のように一部だけ提示します。子どもたちは,縦にチョコレートが何個並んでいるのかを数えています。

「縦に7個並んでいる」

子どもたちは声をあげます。それと同時に,「全部の数を知りたい」という声が聞こえてきます。そこで,この声の意味を共有していきます。

「全部の数が分からないと,横は分からない」
「全部が分かれば,縦が7個だから何列かかけ算でわかる」

子どもたちは,全部の数が分かれば計算で横のチョコレートの数が分かると考え始めました。そこで,どんな式が頭に浮かんだのかを尋ねます。

「全部÷7」
「□÷7=横の数」
「別の式もあるよ。□×7=全部」

3年生「□を使った式」のポイントは,子どもが□を使って考えたくなる瞬間をどう引き出していくかです。子どもたちは,この場面で□を使って式化を考え始めました。
ところで,「□÷7=横の数」と「□×7=全部」の式は,□を両者使っているものの意味が異なっています。また,□を使う式自体の意味が十分に納得できない子どももいました。
そこで,次のように投げかけます。

「□×7=全部の意味はわかるかな?」

式の意味の共有化を図ったのです。子どもたちが説明します。

「チョコレートの横の数が分からないでしょ。だから,分からない横の数を□にした」
「例えば,□が10だとするでしょ。そうすると,10×7=70という式の意味になるんだよ」
「そういうことか!」

□は未知数です。しかし,これが子どもには難しいのです。そこで,□に10を試しに入れて説明をしたのです。1つの具体的数値が入ることで,子どもたちには□×7=全部の意味が見えてきました。未知数を□にして式を作ることは,3年生の子どもには大人が思っている以上に難しいのです。

次に「□÷7=横の数」の意味を共有します。

その後,子どもたちは「□×7=全部」の式に対して,次のように声をあげてきます。

「全部の数であまりがでると困る」
「7の段の九九の数じゃないとだめだよ」
「例えば49個ならできるよ」

ここでも子どもから具体例が出てきました。曖昧な場面を明確化していくために,具体例をあげて説明できる力は,算数では非常に高度な思考方法です。すばらしい子どもたちです。
そこで,全部の数が49個なら横の数が何個になるのかを考えることにしました。

「式は□×7=49になります」
「□を求めるために,49÷7=7だから,横は7列です」

横の列を直接求めるには,「49÷7=横の数」で考えます。しかし,問題場面をそのまま式で表現すると,「□×7=49」と考えます。

情報を一部隠して提示することで,□を使って式化したくなる気持ちを引き出すことができた1時間でした。

2019年2月5日火曜日

2mの1/4と1/4m

 本校の研究発表会が終わりました。参加された先生方,ありがとうございました。

私は3年生「分数」の授業公開を行いました。教師が提示する問題と同じカードを見つけるゲーム場面を設定しました。

この時間の主発問は「1/4mカードはどれですか」でした。しかし,この発問を投げかける前から,子どもたちからこの数値が生まれてきました。問題場面に主体的にかかわっている証拠です。

子どもたちが1/4mと判断したカードは2つありました。1つ目は,1mを4等分した1つ分に色が塗られたカードです。これは,全員が「1mを4つに分けた内の1つ分」という理由で納得しました。

一方,判断が分かれたのが2mを4等分した1つ分に色が塗られたカードです。多くの子どもたちは,このカードも1/4mと考えました。
「だって,2mを4つに分けた1つ分でしょ。だから1/4m」

これが子どもたちの論理でした。量分数の基準は1を単位とします。ところが子どもたちには,その1ではなく長さの単位であるmだけに意識が向いていたのです。

ところで,正解である1/4mのカードと問題をつなげて考える子どもが現れます。
「1/4mは1mがもとだから,2mのカードは違うと思う」
「1mの1/4は25㎝でしょ。2mの1/4は50㎝でしょ。長さが違うよ」

分数で表記されたmを㎝に置き換えることで,2mのカードが正しくないことを説明したのです。この論理は説得力がありました。長さの視点で比べたら,2つのカードの長さは異なるのです。ところが,「でも」という声があがります。

「でも,2mを4つに分けた1つ分だから1/4mだよ」

2mの1/4であることは間違いありません。その事実と1/4mの違い,25㎝と50㎝の違いがうまくリンクしないのです。感覚的に1/4mと言ってしまいたくなるのです。この感覚を崩すのは至難の業でした。

「2mのカードは,1mだけ見たら1/2mだから,これは1/2mだよ」

この発言をきっかけに,少しずつ子どもたちは2mのカードのおかしさに気づいてきましたが,時間内で全員が納得することはできませんでした。子どもの感覚を教師の論理ではなく,子どもの内なる気付きを基に変革していく難しさを実感しました。一方,子どもたちの論理を主張しつづける姿にも感動しました。

翌日です。この問題の続きを行いました。子どもたちの思いを発表させます。

「2mのカードは違う。1mのカードは,1mを4つに分けた1つ分です。でも2mの方は,2m全体を4つに分けた1つ分だから違います」

この発言には,この問題を解決する大きなヒントが隠れています。「全体を」という視点です。この視点を,時間をかけて共有していきました。すると,今度は子どもたちの視点が点から面へと拡がっていきました。

「4日前に勉強したノートを見て下さい。リンゴ1/4個は,もとがリンゴ1個だったでしょ。次の問題は,『リンゴの1/2』これは,リンゴ全体の1/2だから4個だった。これと同じだよ」
「ピザ2/3枚,水2/5Lは,どれももとが1枚,1Lで1なんとかだった。だからもとは1なんだよ。2がもとだとだめなんだよ」

子どもたちは,研究会前の授業と研究会で扱った分数の共通点に気がついたのです。単位がつく分数は,どれももとは1単位(L・枚・m)なのです。これでほとんどの子どもたちが納得しました。

4日前の問題では,バナナの問題を扱いました。「バナナ1/2本」です。この問題を想起することで,一気に子どもの考えが変わりました。
「バナナ1/2本は,左のバナナだけ半分にした。右のバナナは無視した」
「だったら,2mも同じだ。(2mテープの)左の1mだけ見るんだ。そして,右の1mは無視するんだ。そうすると,左は1/2m。右は無視するから1/2mだよ」

これで「そうか」「わかった」「なるほど」という納得の声が聞こえてきました。

最後は,4日目のバナナの1/2本とつながることで,子どもの納得の声が生まれてきました。2時間掛かりましたが,子どもたちが過去の学習とリンクする瞬間を引き出すことで,本当に子どもが納得する量分数と分割分数の違いを見つける授業が構成できました。







2019年1月30日水曜日

3年分割分数と量分数

 3年生の分数では,量分数に出会います。2年生で学習した分数は分割分数です。単位がつくかつかないかの違いなのですが,この差を区別することは,子どもにはかなりハードルが高いのです。

分割分数と量分数の違いを意識化させるために,次のように子どもたちに投げかけます。
「りんご1/4個に色を塗りましょう」

右のようなリンゴを上から見た図を提示します。子どもたちは,このリンゴを4分割した後,その中の1つ分に色を塗っていきます。これは,簡単にできました。

続いて,次のように投げかけます。
「1/2のリンゴに色を塗りましょう」
提示したのは,右図です。リンゴが8個ある図です。

子どもたちは,どのように色を塗るでしょうか。2つの考え方に分かれました。
1つ目は,1つのリンゴを半分にして,その1つ分に色を塗ります。この考え方をクラス全体で共有します。
一方,別の塗り方もありました。そこで,「答えは2つあるんだね」と投げかけます。こここが,分割分数と量分数のせめぎ合いの場面です。

「1個のりんごの半分塗れば,それは1/2だけど,1/2個というんだよ」
「問題は1/2のりんごでしょ。りんごは全部で8個あるんだから,その1/2だから4個分塗るんだよ」
「もとが1個じゃなくて,もとは8個のリンゴだから4個のりんごに色を塗るんだよ」
「さっきは,もとが1個だから答えも1/4個。でも,今の問題はもとはりんご1個じゃないから,4個のりんごを塗るんだよ」

最初の問題は,りんご1個がもとにする量でした。ところが,この問題はもとにする量がりんご8個分になっています。もとにする量が1個,1m,1Lなどの単位量である場合とそうではない場合の分数表記の違いに気づいてきました。この気付きの共有は,かなりの時間が掛かりました。やはり,分割分数と量分数の違いを明確に意識することはハードルが高いようです。

その後,「みかん1/3個」「バナナ1/2」の色塗りに取り組みました。分数に単位が付いているのか否かに着目して,子どもたちは正しく色を塗ることができました。










2019年1月29日火曜日

子どもが発展的に場面設定する「変わり方」(4年)の授業

 4年生「変わり方」単元の第1時間目です。子どもたちに,次のように投げかけます。

「六角形をつなげていくと?」

黒板に右の図形を提示します。六角形が2列つながった図です。子どもたちにも,ノートに作図をさせます。子どもたちは,「面倒だなあ」と声をあげながら作図を行っています。「面倒だなあ」という気持ちを持たせることが,この変わり方の学習では大切なポイントです。

子どもたちに作図を終わったところで,次のように子どもたちに投げかけます。

「まわりの辺は何本ですか?」

子どもたちは,図を指さしながら本数を数えます。見ただけではすぐには判断ができないからです。やがて,「12本だ」と声があがります。

次に,先ほどの図形の右側に,さらにもう1列六角形をつなげていきます。この作図もノートに描かせます。先ほどにも増して「面倒」という声が聞こえてきます。
子どもたちに,まわりの辺の数を尋ねます。ここでも子どもたちは,図を指さしながら辺の数を数えます。やがて「18本」と声があがります。それと同時に「きまりがある」「式がある」という声も聞こえてきました。

「6本ずつ増えている」
「最初の六角形は6本。2列になると12本で6本増えた。3列になると18本。今度も6本増えた」
「だったら,もう1列増えたら24本になる」

六角形の列と本数の間にきまりを見つけたのです。さらに,きまり発見をきっかけに,まだ目の前にはない4列目の本数を予想する声が生まれてきました。類推的な思考が発揮された瞬間です。
そこで,4列目が本当に24本になるのかを,作図で確認します。この作図も面倒です。やがて,「やっぱり24本だ」という喜びの声が聞こえてきます。子どもたちに予想通りの結果が生まれました。それと同時に,「全部×6になる」という声があがります。新しいきまりに気づいた声です。

「1列目は6本だから,1×6。2列目は12本だから,2×6。3列目も3×6で18本。4列目も4×6で24本」
「だったら5列目も,5×6で30本」

変わり方の学習では,教師から表を提示して,見えてきたデータをそこに当てはめてきまりを発見させる展開があります。しかし,このような展開を行えば,表に当てはめなくても子どもたちはきまりを発見することができます。また,子どもたちの各データへの見方・考え方は表という枠組みがないだけで,それと同様の活動を進めているのです。

さて,データを横方向・縦方向と2つの見方で見つめることできまりを見つけた子どもたちです。今度は,このきまり発見から,次の声が生まれてきました。

「このきまりは,四角形でも五角形でも当てはまると思う」

六角形とは異なる図形にも,このようなきまりがあるのではないかと考えたのです。深い学びの世界へと,子どもたちの学びのベクトルが進んでいきました。
そこで,「四角形だったら,どんなふうに図形を作図するかな?」と,つながり方そのものを子どもに考えさせました。
子どもたちが考えた,四角形のつながり方の予想図は様々でした。大別すると,右の3種類です。1種類ずつ検討します。すると,左と真ん中は,いずれも「1列目4本,2列目8本」となります。列の数×4というきまりが見えてきます。六角形の縦のきまりと同様のきまりです。この2つの図形を見つめていた子どもが,おもしろいことに気がつきます。
「真ん中の形は,回したら左と同じ形だよ。だから同じきまりなんだよ」
確かに同じ形です。

右の図形は,「1列目4本」ですが,2列目が問題でした。列同士の結合部分の中途半端な縦の辺をどのように数えるのかが問題となりました。中途半端な長さをそれぞれ0.5本と数えると,「2列目8本」となります。この見方だと,左と真ん中と同じ結果になります。

六角形のつながり方を考える学習を通して,変わり方の見方・考え方や,場面を発展的に設定していく深い学びの世界も生まれた1時間となりました。