リボンの長さが小数なのに・・・

次の問題を子どもたちに提示します。

「１ｍ８０円のリボンがあります。①のリボンの代金はいくらですか」 

①のリボンを提示します。「１６０円」という声が多数聞こえてきました。そこで，この気持ちを読解します。

「１ｍが２個あるから」

「８０×２で１６０円」

①のリボンが１ｍリボンの２倍に見えていることから生まれた声です。しかし，本当の長さは2.1ｍです。すると，この結果を見て首をひねっている子どもの姿が見えました。その理由を尋ねます。

「小数のかけ算になりそうで･･･」

「そんなのあるの？」

子どもたちの既習は，小数×整数です。整数×小数は未習です。従って，かける数が小数の立式を行うことに不安を感じたのです。

すると，この声を受けて次の声があがってきました。

「でもさあ，（小数でも）増えるならあるよ」

「小数のたしざんは増えるだけど，あったよ」

子どもたちにとって，かけ算は答えが増えるイメージがあります。このスタンスに立てば，小数のたしざんができたのですから，小数のかけ算もあり得るという考え方です。既習とつなげたよき見方が生まれてきました。

その後，４ます関係表を使って，リボンの長さが2.1ｍのときの代金を求める式が，80×2.1になることを確認します。既習とつなげることで，小数のかけ算があり得ることを，子どもたちは納得していきました。

ところでリボンの長さは，2.1ｍではなく2.5ｍであったことを伝えます。2.5ｍに伸びても，考え方は同じです。80×2.5という式を作ることができます。

さて，式はできました。では，どうやって答えを求めたらよいのでしょうか。

子どもからは３つの考え方が生まれてきました。

ア．２．５を２と0.5に分けて計算するサクランボ計算。８０×２は計算できます。しかし，８０×0.5はできません。しかし，これは８０の半分なので４０と分かります。

イ．８０×2.5を８０×２５に置き換えて計算します。小数の存在が嫌だからです。整数×整数なら計算ができます。しかし，この答えはもとの式を１０倍したものです。従って，この答えを１０でわる必要があります。もどしているのだ算です。

ウ．８０×2.5を１０×８×２５÷１０と置き換えます。さらにこの式を，１０÷１０×８×２５と変身します。するとこの式は，８×２５になります。これなら計算できます。サクランボ＆入れ替え計算です。

子どもたちにとっては，もどしているのだ算がわかりやすいという声があがりました。

オナジン登場！

 子どもたちに「○と△の関係を式に表そう」と投げかけます。

①１ｍの値段８０円のリボンを買うときの買う長さ○ｍと代金△円

子どもたちはこの問題文を見ても，最初は問題場面のイメージがつかめずにいました。そんなときに生まれきたのが「表とか図にしたらいいんじゃないの」というアイディアです。

そこで，問題文に沿って表を作成します。その結果，子どもたちにも問題場面のイメージができてきました。イメージができると，式も見えてきます。

子どもからは，次の２つの式が生まれてきました。

△÷○＝８０

８０×○＝△

次に，２つ目の問題を提示します。

②１ｍの重さが2.15㎏のパイプを買うときの買う長さ○ｍと重さ△㎏

この問題場面に当てはまる式を考えていたいときです。Ｍ子が次のように説明をしました。

「さっきの問題の８０×○＝△と同じで，これも2.15×○＝△という式ができます」

１問目と２問目の立式には考え方の共通点があることに気づいた声です。「オナジン」というキャラクターを貼り，共通点に気づいた見方を褒めました。

するとこの手立てが，３問目でも生きてきます。

③１段１５㎝の階段の段数○段と高さ△㎝

この問題でも，「最初の問題と同じで，これも１５×○＝△とできる」と説明が続きました。

算数では共通する部分を見つけていく見方・考え方が大切になります。よき見方が繰り返し生まれてきました。

本題材は，東洋館出版「板書シリーズ５年上」を参考にしています。

１を見い出す！

子どもたちに「六角形をつないでいくと･･･」と投げかけ，六角形が３つつながった形を提示します。子どもたちは，同じ形を配布したパターンブロックをなぞってノートに同じ形を作図していきます。

作図を終えたある子どもが，図の周辺部を指でなぞる姿が見えました。それと当時に「１２」という声が聞こえてきました。そこで，この声の意味を共有していきます。

「周りが１２本ある」

「それって５月９日と同じだ。階段も四角が増えて比例した」

前時の学習の比例の見方が生まれてきました。しかし，「まだ次がどうつながるか分からないと決められない」という声も聞こえてきました。

そこで，六角形を追加します。先ほどの図形の右側に３つの六角形を縦に並べます。子どもたちは，周りの長さを数えます。「１８本」になることが分かります。それと同時に「６本増えた」「比例」という声も聞こえてきます。

子どもたちの中には「次も６本ずつ増えていく」「だから比例だ」と考える子どもたちがいました。一方，「本当に比例なの？」とその関係性を十分に納得できていない子どももいました。さらに，「もっと次を見ないと分からない」という早急な一般化を疑う声も聞こえてきました。この視点でのアプローチも大切ですね。

その後，六角形をもう１列増やします。周りの辺は「２４本」になりました。ここで「きまりがある」「６本ずつ増えている」「比例になっている」と声があがります。ここで比例の意味を再確認します。「片方が２倍・３倍になったら，もう片方も２倍・３倍になる」という関係です。しかし，最初の周りの本数「１２本」をもとにすると２倍・３倍の関係は見えません。そのために，「比例なの？」と疑っている子どもたちも何人もいました。

そんなとき，「最初の１個を動かす」という声が聞こえてきました。左端の１個の六角形を切り離すと，その本数が６本であることが見えてきます。「これをもとにしたら，２倍・３倍になる」とそれまで見えなかった比例関係が見えてきます。見えなかった基準量になる１を見出す姿が生まれてきました。この基準量が見えると，比例関係もすぐに見えてきます。

基準量を見出す姿を引き出すことを目的にした比例の授業でした。 

比例はあるかな？

 前回の階段問題を続きです。段数を１３段，２５段に伸ばした場合の周りの長さを考えました。子どもたちは，いずれも４×１３，４×２５という４の段のかけ算を使って計算で求めました。この段数まで来ると，図を描いて調べるのはかなり大変な作業になります。

その後，この考え方が「比例」であることを説明します。

「比例」の用語を学んだ子どもたちに，「比例するものはあるかな」と尋ねます。子どもからの声を，一つ一つ確認していきます。

①正方形の１辺の長さと周りの長さ→比例

②ノートのサイズと周りの長さ→比例ではない

③ぼくと兄の年齢→比例ではない

④看板の枚数と重さ→比例

⑤双子の年齢→比例

⑥身長と体重→比例ではない

この他にも，「私とおばあちゃんの年齢」との声も聞こえました。「１歳の時におばあちゃんが６０歳。比例したら，２歳になったらおばあちゃんは１２０歳？」となりありえない状況が発生します。これも比例ではありません。

このように考えると，比例になる場面はあまり多くはないようですね。

階段と演繹

比例学習の１時間目に入りました。教科書にもある階段と周りの長さの関係を取り上げました。

階段を２段積んだ時点で，「きまりがある」「次は１６㎝？」「１２㎝じゃない？」「まだ次を見ないと分からないよ」と声が続きます。２つの情報から，きまりを見つけ出そうとする姿が育ってきました。さらに，少ない情報数で一般化することへの危惧を示す声があがってきたのも素晴らしい視点です。

その後，子どもたちは，「４㎝ずつ増える」「１段の長さが２倍・３倍になる」の２つの決まりを見つけていきます。この学習では，きまり発見の声と同時に演繹的な声もあがってきます。「どうして４㎝ずつ増えていくのか」という声です。この部分は，きまりを発見したばかりの子どもたちにはハードルが高い内容です。今回の授業でも，階段が３段になった時点でそれが生まれてきました。演繹の声を早い段階で授業の中心にしてしまうと，多くの子どもが混沌としてしまいます。

授業の最後には，１０段になったら何㎝になるのかを問いました。ジャンプした階段数です。この段数になると，全員が４×１０という倍の考え方を使いました。「かけ算は楽」「早く計算できる」と声があがりました。

比例の見方を引き出した１時間目でした。 

式を読解する

ホワイトボードにある立体を提示し，「体積を求めよう」と投げかけます。

多くの子どもたちは，縦に３分割する方法，細長い直方体が９個分という方法で求めました。

飛び出している７番の直方体を５番の上に移動し階段状に変形する子どもがいました。この階段を２つ合わせると直方体ができます。最後にこの体積を半分にします。この方法は１週間前に学習した方法です。既習を活用するよきアイディアです。いずれも式が４本，２本必要です。

最後に，３０×３０×３０という式を提示します。これは１本の式です。式を見た子どもからは，「なんで？」という声が聞こえてきます。もとの立体には，３０が２個はあっても３個はないからです。

そこで，この式の意味を読解していきます。飛び出している１番を５番の上に移動します。そうすると欠けていた穴が埋まります。これで直方体に立体が変身し，高さが３０㎝になります。これだと１本の式で求められます。ここでも「№１４と同じだ」と既習の求め方との共通点に気がつく声が聞こえてきました。ここまで２５分の授業でした。

今夏の全国算数授業研究大会は８月５～６日開催！

 筑波大学附属小を会場に開催される全国算数授業研究大会は，８月５日（月）６日（火）の２日間開催されます。今大会では，合計１０本の公開授業が行われます。

今夏の大会テーマは，「本質に導く授業力 ―多様な学びが求められる今、教師の役割を問うー」です。大会テーマの算数の「本質」とは，「単元で最もポイントとなる内容の数学的な見方・考え方」です。この本質を引き出し培う授業力を発揮するために必要な教師の役割を，全10本の公開授業を通して議論をしていきます。

本研究大会は，事前申し込み制です。申し込み開始まで，もう少しお待ちください。詳細は，以下のアドレスからお願いします。

https://zensanken.jimdofree.com/%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%A4%A7%E4%BC%9A/