文章問題を提示し，どんな式になるか考えさせました。

５問目に次の問題を提示しました。

「7.1/2ｍのロープを1.1/4ｍずつ切ると，何本できますか」

問題文を見た子どもから，「４ますは無理かも」と声があがります。その原因を指摘する声もあがってきます。

「数字が２つしかないよ」

「１がないから，４ますできない」

「１を作ればいいんだ」

「どっちが１？」

「1.1/4ｍずつ切るんだから，これが基だから１だよ」

これで３つ目の数字が見えてきました。これなら４ます関係表ができます。関係を示す矢印は縦方向に入ります。それまでの横方向とは異なります。

この縦方向の矢印を見た子どもから声があがります。

「包含除は縦なんじゃない？」

鋭い指摘です。わり算には包含除と等分除があることは以前の学習で学びました。その学習と４ますの矢印に関係性を見出したのです。

１週間ほど前の学習でも包含除を学習しました。その場面を４ますに整理すると，この問題も縦方向に矢印が入りました。すごい発見です。

すると今度は，「だったら等分除は横方向だね」と，新たな視点の指摘も生まれきました。びっくりするほど追求力の高い子どもたちです。

きまりがあります！

２５分ほどの算数です。「次の計算をしよう」と投げかけます。

「３÷0.25」

そのまま計算すれば１２と答えが求められますが，0.25を分数の1/4に置き換えて計算する子どももいます。

「その方が簡単」

「わり切れないかもしれないから」

このように分数に置き換えた理由を説明します。なるほど！という理由です。

その後も，「４÷0.25」「５÷0.25」と計算を進めていきます。すると「きまりがある」と声があがります。

「４ずつ答えが増えている」

「÷1/4って×４になるから，４を倍しているから４ずつ増えるんだよ」

答えの増え方のきまりや，そのきまりになる理由を分析する声がうまれてきました。

その後は，別の数字に置き換えて子どもたちが見つけたきまりが活用できるのかを実験していきました。 

 

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１より小さいと小さい

「式を完成させて，答えが大きい方が勝ちゲームをしよう」

このように投げかけます。3/4以降の演算と数字をカードから引いて，式を完成させます。

最初のチームが，3/4×7/8になるカードを引きました。するとこの式を見た子どもから，

「１より小さいと小さい」

と声があがります。この声の意味を読解します。

「１より小さい数をかけると，答えは小さくなる」

演算とそれに対応する数字が１よりも大きいか小さいかによって，答えの大きさが変わるという説明です。この場面での読解が，その後の「÷」の演算が生まれた時にも生きてきました。

合計１２回のゲームを通して，分数のわり算のわられる数とわる数とその商の大きさの関係を見いだした１時間でした。

 

あまりが・・・

次の問題を子どもたちに提示します。

「２と1/5Ｌの牛乳があります。2/5Ｌ入りの瓶に分けます。瓶は何本できて何Ｌあまりますか」

式が２と1/5÷2/5になることはすぐに分かります。計算すると，答えは５と1/2となります。ここからほとんどの子どもたちは，答えを「５本になって1/2Ｌあまる」としました。この答えに違和感を抱く子どもはいませんでした。

一方，「あまりますか」という問題文から，計算を分母同士・分子同士でわり算する考えが生まれてきました。分母は５÷５で１となります。分子は１１÷２なので５あまり１となります。この結果から，答えは「５本できて１Ｌあまる」としました。

すると，この結果を見た子どもから声があがります。

「あまりの１Ｌの中に2/5Ｌがまだある」

「図で描くと，2/5Ｌが２つあるよ」

「だから答えは７本とれるんじゃない」

「そしてあまりは1/5Ｌになる」

あまりの大きさに目を付けた鋭い指摘です。すると，この結果を見た子どもから，さらに声があがります。

「それなら，左の式のあまり1/2Ｌの中にも2/5Ｌがある」

「図を描いても，1/2Ｌの中に2/5Ｌが１つ分ある」

「通分したら，5/10Ｌの中に4/10Ｌが１つ分ある」

「だから答えは６本とれて1/10Ｌあまるだ」

右側の式から生まれが疑問が，左側の式にも当てはまることを子どもたちが指摘していきました。よい学びの連鎖です。

しかし，生まれてきた式は２種類になりました。この答えは正しいのでしょうか？

そこで，確かめ算を行います。結果は，いずれも正しくないことが分かりました。では，一体答えはどうなるのでしょうか。

計算結果は５と1/2となりました。このことから，牛乳瓶５本が取れることは間違いありません。問題はあまりに該当する1/2の部分です。多くの子どもたちは，1/2Ｌと考えましたが，それでは正しくはないようです。

すると子どもから，次の声があがります。

「1/2というのは，2/5の1/2なんだよ」

「？？？」

「そーいうことか！」

「図で描くと，2/5Ｌ入るコップがあって，その中の1/2だけ牛乳が入るということ」

「だから1/5Ｌあまるんだ」

答えの1/2の意味を捉え直す声が生まれてきました。この場面はていねいに展開しました。理解に時間がかかるからです。

この考え方を確かめ算で確認すると，正しい答えであることが分かりました。

そこでもう一度，最初の子どもたちの誤答に戻ります。

「計算の答えの５と1/2から，みんなは５本と1/2Ｌと考えたね。なにがよくなかったのでしょうか」

子どもたちが考えます。

「答えを５本と1/2Ｌと別の単位にしてしまったら」

「５と1/2は同じ数だから，まとめて本と考えるのに，別々にしてしまったからだめだった」

1/2は牛乳の量ではなく，2/5Ｌの中の割合を示す1/2だったのです。この意味を時間をかけて読解していきました。