体積もできるかな？

「辺の長さが分数でも立体の体積は求められるかな？」

直方体の辺の長さが分数になっても，体積は求められるか尋ねます。縦横高さが分数値の辺の長さを提示します。

多くの子どもたちは，３本の辺の長さを一気にかけ算をして計算しました。一方，最初の２つのかけ算を行った後で，その答えと３つ目をかけ算する子どももいました。その子は，「なるほど，そんなやり方もあるのか」と感心していました。

その後は，「仮分数でもできるよ」の声を受けて，分数の範囲を拡張して計算を進めていきました。

 

大きいのはどっち？

「大きい方が勝ちゲームをしよう」

このように子どもに投げかけます。「3/7×□」の□に入る数字を，赤いカードを裏返して決めていく２チーム対抗ゲームです。

最初は，かけられる数の3/7が固定されています。従って，赤いカードが裏返されるたびに，「あー」「終わったー」などの声が聞こえてきました。

「終わったー」という声は，１よりも小さいカードが引かれた時に生まれてきました。一方，「あー」という喜びの声は，１よりも大きいカードが引かれた時に生まれてきました。

後半は，かけられる数もかける数も赤いカードから決めるという展開に変更しました。このルール変更で，一層わくわく感がアップしました。

赤いカードには小数値も混じっています。子どもたちは，それを分数に置き換えることで計算していました。ところが，計算結果の両者の分母が異なった場合は，通分ではなく再度小数に置き換えていました。状況に応じて数値を使い分けることも大切な見方・考え方ですね。

 

関西math勉強会盛り上がりました！

 昨日は兵庫県川西市で関西math勉強会が行われました。

３年生のわり算の模擬授業対決が２本，そして，ワークショップが６本と私の講演が行われました。

関西地区の若手の先生方が大活躍をしてくれました。中でも和歌山県田辺市の先生方のパワーがすごかったですねえ。人口約７万人の自治体にこれだけたくさんの熱心で力のある先生がいることに驚きました！　きっとよい学びのサイクルができいるのでしょうね。他地域の先生方もうかうかしていられませんね。

懇親会では次回の企画と担当者があっという間に決まりました。このスピード感は，やる気のあるメンバーがいるからこそですね。これからますます発展していくスタートアップ企業のようですね。

帯分数でもできるかな？

 「辺の長さが帯分数でも長方形の面積は求められるかな」

このように子どもたちに投げかけます。多くの子どもは，「仮分数に直したら簡単」と考えます。

そこで，縦１・1/2m，横１・1/3mの長方形の面積を求めます。式から答えを求めることは簡単にできました。答えは12/6mです。しかし，この答えの正しさは図で確かめる必要があります。そこで，図で答えを確かめます。

図に線を入れて分数表記の面積を考えます。今回の問題場面では，分子が長方形全体になります。一方，分母は分子部分よりも小さくなります。これが，これまでの分数の図とは異なる点です。分母は「基準は１」であることから，縦・横１ｍの正方形部分に当たることを，時間をかけて共有していきました。

式と図を往還する学びが，分数学習では特に大切ですね。

図に面積が見えるかな？

「縦8/9ｍ，横3/4ｍの長方形の面積を求めよう」

このように投げかけます。式を使って，答えが24/36㎡になることはすぐに分かります。

そこで，「図の中に24/36㎡は見えるかな？」と投げかけます。子どもたちは，長方形の図の中に分割する直線を引いていきます。ところが，困っている子どもがいました。一方，早々に線を引き終えた子どももいます。

そこで，多くの子どもが作図した図を提示します。縦方向に４分割，横方向に９分割された図です。そこで，「この図でいいね？」と念押しをします。

すると，「あれ？」という声が聞こえてきます。一方，「これでいいじゃん」という表情の子どももいます。

そこで，「あれ？」と疑問を抱いた子どもが説明を始めます。

「これだと4/4ｍに見えるよ」

「3/4ｍは４つに分けた３つ分。でも，これは４つに分けた４つ分」

「じゃあ，どうしたらいいの？」

この図では間違っているようです。そこで、図を修正します。今度は縦方向に３分割，横方向に８分割します。これなら3/4ｍに見えると子どもたちは考えました。この図の中に，分子に当たる24も見えてきます。

では，分母はどこに見えるのでしょうか。ここが次の問いになります。このままでは，分母は見えません。「？」が大きく子どもに浮かびます。

すると「だったら伸ばしたら」と声がします。オレンジ色のように図を外側に拡張していきます。しかし，この図を見てもその意味が読解できな子どももいます。ここは時間をかけて共有していきます。

「このままだと，横は3/3ｍに見えてしまいます」

「分母は１つ分だと№33で勉強したから，分母はもとの数」

「１つ分増やすと，４つに分けた３つ分が見える」

「縦も同じように１つ分増やすと，９つに分けた８つ分が見える」

これまでの学習は，分母に当たる部分は図の中に最初から位置づいていました。しかし，今回の問題は最初の図の中に，それは見えません。そこが難しい部分でした。外側に拡張することで，分母が見える展開でした。

 

仮分数が混じっていても大丈夫？

「仮分数が混じった問題も本当に前のやり方でできるかな？」

このように子どもたちに投げかけます。多くの子どもはできると考えましたが，心配な子どもも一部にいました。

最初に取り組んだのは，3/4×7/5になる問題場面です。計算の後，図で確かめます。これは前回も学習しているので，図の中に分子・分母部分を見いだすことができました。すると，次の声があがります。

「あれ？　あそこと一緒だ」

「計算の式と，図の分母・分子の部屋の数を求める式と同じだ」

「図の中に式が隠れているね」

よい気付きが生まれてきました。

次に取り組んだのは，かけられる数もかける数も仮分数の問題です。4/3×5/4になる問題を考えます。図で確かめるときに，子どもが悩みました。

「あふれる･･･」

１Ｌのコップでに4/3Ｌは入りません。そこでコップを上方向に増やすアイディアが生まれてきます。これならうまくできそうです。

問題は図の中の分母部分を見いだす場面でした。分母だと考える場所が３つに分裂しました。子どもたちは話し合います。

「前も１Ｌがもとだった」

「過分数になってももとは変わらない」

「さっきは横にコップが増えた。今は上にコップが増えた。でも，もとは変わらない」

「もとは変わらない」の説明で全員が分母の場所を正しく見いだすことができました。

 

分数のかけ算の計算方法はいつでも使えるの？

 

「分数のかけ算の計算方法は，いつでも使えるのかな？」

このように子どもたちに投げかけます。前回は，4/5×1/3の計算方法を考えました。子どもたちは，分母同士・分子同士をそれぞれかけ算することで答えが見つけられる方法を発見しました。しかし，まだ試したのはたった１問です。

そこで，本当にこの計算方法が一般化できるのかを考えていくことにしました。

最初は，「１分で3/4Ｌを作るジュースマシン。1/2分では何Ｌ作ることができる？」を考えます。式で形式的に答えを求めることはできます。しかし，その答えの正しさは図で確かめるしかありません。

そこで，図を使って確かめます。結果は，図の中に答えの分数の分母・分子部分を見いだすことができました。この問題でも，前回の計算方法の妥当さが見えてきました。

その後，「仮分数でもできるの？」と疑問の声があがります。そこで，「１分で2/3Ｌを作るジュースマシン。4/3分なら何Ｌ作ることができる」を考えます。

式で答えを求めることは簡単でした。8/9Ｌと計算できます。この答えの正しさを，図で確認します。

ところが，作図が始まってしばらくすると半分ほどの子どもたちの手が止まります。「１分はできるけど，4/3分は？」と声が聞こえます。これまでは１分の内部を分割していました。しかし，この問題は仮分数です。１分を超える時間です。そのため，その状態を図でどう表せばいいのかが見えないのです。

最終的に，１Ｌのコップを左側に追加することで，そこに4/3分を見いだすことができました。ところがこの図の中に，答えに該当する分数を見つける場面でズレが生まれます。分子部分の８個はすぐに分かります。しかし，分母部分にズレが生まれます。２Ｌのコップ全体だとする子どもと，１Ｌのコップ部分だけだとする子どもです。

「分母は全体」

「全体はもともとを表す」

「もとは１Ｌだから，全体は１Ｌのところだけ」

分母に該当する基準量は６年生で混乱が見られる場面です。分数の意味に立ち返り，分母は基準量を分割したもの（もと）を想起することで，１Ｌ部分が分母になることが見えてきました。

分母を通分？

次の問題を提示します。

「１分間で4/5Lのジュースを作るマシンがあります。1/3分では何Ｌのジュースができる？」

式は4/5×1/3となります。すると，この式を巡って子どもたちの声が続きます。

「どうやるの？」

「前みたいにしたらいい？」

ここで，子どもから「前」という話題が出ました。子どもが考える「前」とはいつのことでしょうか。

「№１８では4/5×３で分子だけ４×３をしたこと」

「でも，今は分母が５と１で違うから揃えないと…」

「通分？」

「例えば4/5×３だとすると，これは4/5×3/1とも考えられる。通分すると4/5×15/5になる。これで前みたいに分母・分子かけると，60/5になって本当の答えと違うから通分するのは違うよ」

「分数÷整数では分母をかけたから，これも分母をかけてもいい」

「通分するんじゃなくて，分母も分子もかけたらいい」

分母をかけ算することへの抵抗感から通分の話題が生まれてきました。分数の加減では通分で計算を行いました。ここを既習とした考えです。よい見方が生まれてきました。

しかし，それでは正しく計算できないことが例示を行うことで見えてきました。そこから，分母・分子をそれぞれかけ算すればいいのではないかという考えが生まれてきました。

分母・分子をかけ算すると4/15になります。しかし，本当にこの答えは正しいのでしょうか。図で確認します。

面積図を作図することで，分母部分も分子部分も図の中に見出すことができました。この結果から，分母・分子をかけ算することで計算できそうだということが見えてきました。しかし，実験数はまだ１つです。子どもからも「全部で３つ計算しないと分からない」と一般化を疑う声が生まれてきました。よい見方が生まれてきました。

 

関西算数授業セミナー「子どもが愉しむ算数授業とは」来週末開催！

 来週末の６月１４日（土）に兵庫県川西市川西商工会議所を会場に，関西math勉強会が開催されます。間もなく満席です。お申し込みはお早めに！

さて，大会テーマは「子どもが愉しむ算数授業とは」です。「愉しむ」の意味や本質を探る研修会にしていきますね。

模擬授業対決やワークショップなど盛りだくさんの内容となっています。是非，ご参加ください。詳細・お申し込みは以下からお願いします！

https://www.kokuchpro.com/event/c47c1056a4599ef6d4be4dd4bb9411c3/

「あき子さんのグループは男子２人女子３人です。この中から３人ずつ毎日給食当番をします。男子１人，女子２人の組み合わせは？」

このように子どもたちに尋ねます。子どもたちは樹形図などを使って，調べ始めます。ところが，こどもからは「４通り」「１０通り」「６通り」など様々な組み合わせ数が聞こえてきました。

最終的に，樹形図には重なる部分があることを確認し。６通りあることが分かりました。

続いて，男女の区別をしない場合を考えます。この場合は，表に整理すると簡単に組み合わせが見えてきます。

一方，五角関係図を使った子どももいました。３人選ぶので使えない？と考えてしまいますが・・・。

当番をしない子どもが２人いると考えると，対角線で関係図をつなぐことができます。子どもの発想は柔軟です。

 

鹿児島県算数部夏期研修会開催！

８月７日（木）鹿児島県にある第一工科大学を会場に，鹿児島県・鹿児島市算数部合同夏期研修会が開催されます。

午前は地元鹿児島の先生方の提案，午後は私と田中博史先生の講演や対談が実施されます。詳細は以下のちらしをご覧ください。

鹿児島県外からの参加の可能です。ご興味のある方は，以下からお申し込みください。

https://docs.google.com/forms/d/1DG_kvki5YRL6BcARfFyaA6bDrmNYJgqBG9_llrpi2Zs/viewform?edit_requested=true

高知の学校を訪問します

 今日は高知市内にある小学校を訪問します。全クラス約３０クラスの授業を参観します。全クラスが公開授業を行うだけでも，志の高さを感じます。

朝ドラ「あんぱん」でなにかと話題の高知です。楽しみですねえ！

３Ｄならできる？

 次の問題を提示します。

「五百円玉，百円玉，五十円玉，十円玉が１枚ずつあります。この中から□枚選んでできる金額はいくらでしょう」

１枚のコインなら，五百円・百円・五十円・十円の４通りです。

では，２枚のコインならどうなるでしょうか。

多くの子どもたちは，樹形図を描きました。完成したのは１２通りです。しかし，この中には同じ組み合わせがあります。１２÷２で６通りあることが分かりました。

また，二次元表を使って考えた子どももいました。これを見た子どもから「簡単」「だぶりがない」という圧倒的支持の声があがります。

ところが，次の声が続きます。

「３枚なら・・・」

「これはできないよ」

「３Ｄの図にしたらできるんじゃない？」

「どうやってやるの？」

３枚のコインを選択した場合，二次元表は使えないのではないかという声が生まれてきました。そこで，３枚のコインを選択する場合を考えます。

３Ｄの表は難しいので，多くの子どもは樹形図を選択しました。この場合，全部で２４通りの組み合わせが生まれます。すると子どもからは，「だぶっているのがあるから，２４÷２で１２通り」と声があがります。

ところが，「そんなにないよ」という声があがります。二次元表をよく見ると，重なっている組み合わせは２組ではないことが見えてきます。５００円・１００円・５０円の組み合わせは６組あります。他の同様に，同じ金額は６組ずつあります。従って，２４÷６で４通りしかないことが見えてきました。

この他にも，「使うコインだけに印をつける」「使わないコインだけに印をつける」「のれんみたいにつなげる」の見つけ方も生まれてきました。

授業後，「３Ｄできました！」と言ってノートを持って来た子がいました。立方体の図から，順に内部の情報を取り出していき，最後は４通りあることを見いだしていました。子どもの発想はすごいですね！

どれ引いたか分かんない！

「７チームになった時の試合数を求めよう」

前回の試合数の問題の続編です。今回はチーム数を７チームに増やした場合を考えます。試合数は，前回の学習を活用することで２１試合になりそうだということは見えてきます。

しかし，その真偽は試合組み合わせを書き出さないと見えてきません。

そこで子どもたちは，樹形図・七角関係図の２つの方法で組み合わせを探します。ところが，取り組んでいる中から悲鳴？が聞こえてきます。

「どれ書いたか分かんない！」

「どう数えるの？」

「１個ミスると終わってしまう」

「１７しかないよ」

これらは七角関係図に取り組んでいた子どもからの声です。

一方，樹形図の子どもからも次の声があがります。

「すごく多くなってノートがたりない」

「書いていらんない」

いずれの方法も７チームの場合は面倒さが増すことが見えてきました。そこで，隣のクラスから生まれた二次元表を提示します。この方法を知った子どもからは，次の声があがります。

「さっきより簡単」

「半分だけ数えたらいいね」

「線対称になっているね」

二次元表のよさを実感する声が生まれてきました。

その後，９チームで実験を行いました。さらにチーム数が増えます。子どもたちが選択したのは，二次元表と九角関係図でした。「分からない」と不評だと思った九角関係図ですが，意外に人気のある方法でした。

 

三角関係？

「□チームあります。どのチームとも１回ずつドッチボールの試合をすると，全部で何試合しますか」

子どもたちに投げかけます。

「１チームなら０試合」

「２チームなら１試合」

ここまではすぐに試合数が見えてきます。すると，次の声があがります。

「１チームなら１−１で０。２チームなら２−１で１」

「でもまだ３回試していないから，−１は違うかも？」

「だったら，２チームは２÷２かな」

「それだと３チームなら３÷２で1.5試合？」

いろいろな声が生まれてきました。そこで，３チームの場合を実験します。樹形図，三角関係図で子どもたちは，試合数が３試合であることを見出していきました。

３チームだと３試合という結果が見えると，再び子どもが動き出します。

「+２，+３になるから次は６試合？」

「１チームから２チームは+１，２チームから３チームは+２だから，３チームから４チームは＋３で６試合」

「５チームなら+４で１０試合」

その後，四角関係図で確認します。結果は，子どもの予想通りの結果になりました。これが見えると，５チームは１０試合と予想ができます。

そこで，この予想の真偽を五角関係図で確かめます。結果は，予想通りの１０試合となりました。

組み合わせを調べる学習を通して，試合数の変化のきまりを見つけていくことができました。

 

１が２つあるから・・・

「０，１，１，２，３，４のカードから３枚選んで３桁の数を作ります」

このように子どもに投げかけます。１０１や１０３ができます。試しに百の位が１の場合の数を書き出します。樹形図を使うことで，２０通りの数が作れることが見えてきました。

すると子どもからは，次の声があがります。

「だったら２０×４で８０通りある」

「百の位が２，３，４の時に２０通りずつだから２０×４で８０通り」

「昨日の旗の色の塗り方と同じだった」

前日の旗の色の塗り分け方と同様に考えることで，３桁の数字作りも計算で総数を求めることができるという考えです。

ところが，ここで「１が２つある」と声があがります。この声をきっかけに子どもの声が続きます。

「１１２と１１２は同じ？」

「黒の１と赤の１があるとすると，黒１赤１の１１２と赤１黒１の１１２は同じになる」

「だから，百の位が３だとしたら，三百十の十は赤の十も黒の十も同じになる」

「だから，２０通りよりも少なくなる」

「えっ，多くなる？」

１が２つあることで，１に色を付けて考えたら１１２は２種類できます。しかし，本来は数に色はないので同じ１１２となります。この事実から，３百台の数の種類が２０ではないことは見えてきました。しかし，その数が２０よりも少ないのか多いのかは，子どもの中でもズレが生まれました。

そこで，百の位が３の場合の３桁の数を実際に樹形図で書き出してみます。結果は１３通りでした。百の位が２も４も同様に考えられるので，総数は１３×３＋２０で５９通りと見えてきました。

同じ数字が２枚あることと，その２枚を別物と考えるか同一と考えるかで総数に違いが生まれることが見えてきました。

 

正三角形なら？

前回の学習では，正方形のパーツで構成された図形の最短ルートを探しました。その時に生まれてきたのが，「他の形になったらどうかな？」の声でした。

そこで，今回は正三角形で構成された図形の最短ルートを探ることにしました。先ずは，正三角形２枚がひし形状につながった形です。

「線対称だ」

「昨日の方法が使える」

「１×２で２通りだ」

線対称図形であることと，右半分のルートが分かればその数を２倍することで総数を求めることができました。

その後，正三角形の数を増やしていきます。いずれの場合も，前時の方法を活用することで求められることが分かりました。また，正三角形の数が増えていくと樹形図がより使いやすい調べ方であることも見えてきました。

 

最短ルートは？

 「最短ルートを見つけよう」

このように投げかけ，正方形の対角線の位置にある2つの頂点を結ぶ最短ルートを探しました。正方形が1つの場合は，2通りあります。

次に正方形の数を4個に増やします。図を見た子どもから，次の声があがります。

「めっちゃある」

「4通り？」

「6通り？」

「もっとある？」

予想にズレが生まれます。そこで，実験します。「6通り」の声が多数を占めました。そこで，最短ルートを確認します。最初に描かれたのは，右に2ます進み，上に2ます進むルートでした。すると，これを見た子どもから声があがります。

「反対がある」

「線対称」

「対称の軸だ」

1つのルートを見た子どもから，線対称と関連付けることで，反対側に同様のルートができるという発見が生まれてきました。この方法を使えば，対称の軸の片方側だけルートを見つけたらよいことになります。この図形では3通りなので，総数は3×2で6通りとなります。

次に，縦・横3ますの9ますの最短ルートを探します。一気に難易度が増します。子どもたちの予想値もバラバラになりました。実験の途中で「面倒」「同じの書いてるかも」と声が聞こえてきます。

そこで，図の中の交点に数字を位置づけます。これでルートの確認がしやすくなります。その後，数字を使ってルートを書き出します。

最終的に，10通りのルートが確認できました。これは線対称の半分のルートなので，実際はこの2倍の20通りあることになります。

同じルートを書き出さないために交点を数値化しましたが，それでも「面倒」という声が聞こえてきました。板書のルートは，同じ数字が固まるように意識して書かれています。この同じ数字の部分を1つに省略することで，樹形図が完成します。

樹形図につながる見方を引き出す最短ルート探しの学習でした。

小松市の３年生ときまり発見授業をしました！

 昨日は，石川県小松市内の小学校で３年生にきまり発見につながる授業公開を行いました。虫食い算を解いていく中から，虫食い算の見えている数字とできる虫食い算の種類数の関係を見出していく授業でした。

３の数字で３種類の計算が完成する場面で，きまりを発見し盛り上がりました。元気でかわいい子どもたちでした。

また，訪問した学校では京都の向日市立第二向陽小の研修システムである複数学年の先生方で構成されたメンター制を取り入れられていました。メンターチームでの授業後の協議はとても質が高く深いものでした。他校の参考となる優れたシステムです。是非，先生方の学校でも取り入れられてはいかがですか？

「子どものストーリーでつくる算数の授業」セミナー開催！

 来週末は大阪で授業テラス主催の対面＆オンラインセミナーが開催されます。テーマは，

「子どものストーリーでつくる算数の授業」

です。詳細は以下の通りです。

日時：５月３１日（土）１３時３０分〜

会場：大阪市エル・おおさか

内容：

13:15　受付

13:30　オープニング
13:45　模擬授業

• 参加者の希望者による算数模擬授業
• 協議（感想・意見）
• 尾﨑先生による講評

15:35　尾﨑先生による講義（”子どものストーリー”でつくる算数の授業）
16:45　閉会、解散

17:15　懇親会（希望者のみ：先着10名限定）

今回は難関単元の模擬授業も開催されます。こちらも楽しみな企画ですね。

お申し込みは，以下のアドレスからお願いします。

https://peatix.com/event/4390444/view?utm_campaign=pod-11433527&utm_medium=email&utm_source=follow-organizer&utm_content=5588415&dlvid=714ffcb8-c8b4-4667-b9cb-4803fa71553d&sltid=0

石川県小松市を訪問

 今日は，石川県小松市にある小学校を訪問します。昨年度からおじゃましている学校です。

石川県は全国学力調査でも毎年高い結果を出している県です。その秘密は石川県を訪問してみると分かります。小松市の小学校も同様です。いろいろな意味でレベルが違います！

今日は先生方の授業参観の他に，私も公開授業を行います。石川の子どもたちとどんな授業が展開できるのか楽しみです！

答えが一番小さい式

 「計算をしないで，答えが一番小さくなる式を見つけよう」

このように投げかけます。Ａ・c/b÷dの記号の中に２〜５の数字を１回ずつ代入します。答えが最小になる式を計算をせずに式だけを書いてもらいました。

子どもから生まれたのは，２・3/4÷５と２・3/5÷４の式です。整数部分は同じ大きさです。また，分子部分も同じ大きさです。計算する部分は分母部分の４×５と５×４です。ここまで考えると，答えは等しくなりそうです。

そんなとき，次の声があがります。

「№２３で似ている勉強しました。１・2/3÷３の計算で，整数の１を÷４をしないで2/3の分数だけ計算したら正しくなかった。仮分数に直さないと正しくできなかった。だから，この問題も仮分数に直して考えないといけない」

帯分数の計算問題に取り組んだときの考え方を活用する声です。そこで，帯分数を仮分数に置き換えてみます。

すると，11/4÷５と13/5÷４と置き換わります。分母部分の計算は変わりませんが，分子の大きさが異なることが見えてきました。分子が１３と１１です。明らかに分子１３の方が大きな答えになります。半数近い子どもは，２番目に答えが小さくなる式を書いていました。

既習の考え方と関連付けながら論理を組み立てることで，よりよい考え方を作り上げることができました。

途中で約分はできるの？

「長さ３ｍで重さａ㎏の鉄棒があります。１ｍ当たりの重さは何㎏ですか」

と問題を提示します。式は，ａ÷３になります。

そこで，ａにどんな数を入れたら簡単か考えさせます。「３の倍数」と声があがります。わる数が３なので，このような声が生まれてきました。

次に難しい数字を尋ねます。「分数かな」と声があがります。そこで，3/9÷３を計算してみることにしました。

これまでの学習を生かして分子をそのまま割る計算方法と，逆数をかける方法の２つが生まれてきました。さらに，分子をそのまま割る計算方法の途中で，分子の３÷３と分母の９を３で約分する方法が生まれてきました。ところが，途中で約分を行うと答えがそれまでの方法とは異なってしまいます。

分数のかけ算では途中で約分することができました。それと同じ方法を，わり算の途中にも当てはめてみたのです。この考え方自体は価値があります。しかし，答えが異なります。

この結果，分数のわり算では途中で約分を行うと答えを正しく導き出すことができないことは見えてきました。しかし，「なんで？」と疑問があがります。

しかし，この疑問を乗り越えることは難度の高い問題でした。式変形を行ったり，図を使ったりして説明を進めていきました。分数のわり算で約分を行うと，図を使うことで問題場面自体が変わることが見えてきました。この部分は難しかったようです。

分数のわり算の途中で約分したくなる考え方は，分数のかけ算を体験した子どもにとっては当然生まれてくる発想です。この部分をもとに子どもたちと考えた時間でした。

 

倍分方式はいつでも使えるのか？

「倍分のやり方は，どんな分数でも使えるのかな？」

子どもたちに投げかけます。多くの子どもは，前時に生まれてきた倍分方式が一般化できると考えています。

そこで「４分で5/6Ｌのジュースを作るマシンが１分で作ることができるジュースの量は」の問題場面で考えることにしました。式は5/6÷４になります。このままでは分子をわることはできません。すると，次の声があがります。

「5/6を変えたらいいよ」

「４で割り切れるようにしたらいい」

「４倍したらいい」

「４倍」という声が生まれてきました。なぜ「４倍」なのでしょうか。そこで，４倍する理由を考えさせます。

「だって，昨日もそうだった」

「昨日は4/5÷３で4/5を３倍に倍分した」

「÷３だから×３をした。だから・・・」

「だから，今日の問題は÷４だから×４をしたらいい」

昨日の問題と今日の問題の共通点を見いだし，そこから倍分を行う数を見いだしたのです。複数の情報をつなげて共通点を見いだす帰納的な見方・考え方が発揮された場面です。

5/6の分母・分子を４倍ずつすると20/24になります。これなら４でわることができます。答えは5/24です。しかし，この答えが正しいのかを図で確認します。結果は，図の中にも5/24が見えてきました。従って，倍分方式は別の問題でも使えそうなことが見えてきました。

さて，倍分の式で計算していると「気づいたことがある」と声があがります。

「ここが無駄だよ」

「だって，×４をして÷４をしたら無駄になる」

「分子は５になる」

倍分で計算を進める式変形の中に，計算を省略ができる部分を見つけた声です。それを「無駄だよ」という子どもらしい言葉で表現してきたのです。

この無駄な部分を省略すると，教科書などに掲載されているb/a÷c=b/(a×c)という式に置き換えることができます。

分数÷整数の計算は，この方式と前時に子どもたちが見つけた倍分方式の２つがあることが見えてきました。問題場面に応じて，子どもが適切な方法を使い分けられるのがよい学び方ですね。

 

分子が割れなかったら？

「２分で4/5Ｌのジュースを作るマシンがあります。１分では何Ｌのジュースを作れますか」

問題に出会った子どもから，次の声があがります。

「かけ算は分子をかけたから・・・」

この声の意味を共有したあと，続きを考えさせました。

「わり算はかけ算の反対だから，分子ではなく分母を計算する」

「分子をかけ算したから，今度は分子をわる」

多くの子どもは，後者を考えました。そこで，分子をわってみます。答えは2/5Ｌと求められます。しかし，「本当に合ってるの？」と計算に対する疑問の声があがります。

そこで，図で確認します。結果は，図でも同じ答えになりました。ところが，次の声があがります。

「まだ３回やっていないから ，正しいか分からない」

「分子が割れなかったらどうするの？」

早急な一般化を疑う声です。そこで，他の問題で実験します。

6/7÷３は式でも図でも計算が正しいことが確かめられました。

一方，4/5÷３の場合は，そもそも分子が４÷３＝1.333・・・となりわりきれません。この計算方法の限界でしょうか。

すると，次の声があがります。

「四捨五入したら」

「約1/5」

「でも，それって正確じゃないよ」

「われるようにしたらいい」

「4/5を３倍３倍して12/15にしたら３でわれる」

「本当だ」

「4/5と12/15は同じ大きさだからできるね」

4/5を倍分するアイディアが生まれてきました。この方法を使えば，先ほどと同じように計算ができます。結果は4/15Ｌです。図でもこの答えになることが確認できました。

倍分のアイディアを使えば，どんなわり算も計算できそうだということが見えてきました。

分子を計算はいつでも使えるのか？

前回からスタートした分数×整数の問題。前時は時間の関係で１問しか取り組んでいません。そこで，次のように子どもに投げかけます。

「昨日の計算方法は，いつでも使えるのかな？」

多くの子どもは使えると考えています。そこで，「１分で2/3Ｌのジュースマシンが４分で作ることができるジュースの量は？」と尋ねます。

式は2/3×４になります。前時の方法なら，分子だけを２×４と計算することで積を求めることができます。しかし，この答えは正しいのでしょうか？

子どもたちは図と式で確かめることを考えました。いずれの方法でも答えが一致しました。この活動の中で，分数のたしざんの式の下に対応するようにコップの図を描く子どもがいました。式と図を対応させて考える姿の表出です。

ところが，「まだ３回実験していないから決められない」と早急な一般化を疑う声が生まれます。このような声が生まれてくるのは，素晴らしいですね。

そこで，別の問題場面にも取り組みました。仮分数の含めた問題場面に取り組みましたが，いずれも前時に見つけた方法が一般化できそうなことが見えてきました。

式と図を往還させながら計算方法の一般化を目指すストーリーで１時間が構成されていきました。

 

ジュースの計算

「１分間で4/5Ｌのジュースを作るマシンがあります。３分では何Ｌのジュースができますか」

子どもたちに尋ねます。式が4/5×３になることは，すぐに分かります。しかし，この計算は未習です。

すると次の声があがってきます。

「分子だけ計算したらいい」

「４×３で１２」

「だから12/5」

ところが，納得できない表情の子どもがいます。分子だけかけ算をして，分母はかけ算を行わないからです。また，この答えがそもそも正しいのかも分かりません。

すると，子どもたちが説明を始めます。

「５年の分数で，4/5＋5/5の時は9/10とはしなかった。分母はたさなかった」

「図でも説明できる。ピザを５つに分けた４つ分と５つに分けた５つ分をたすと，９つ分」

「9/10だとすると，ピザの中が10等分されることになって，ピザの分け方の大きさが変わるからおかしくなる」

「ジュースも同じ。コップの絵でみたら，1/5が１２個で12/5になる」

分子はかけても分母はかけない理由を，５年生の分数のたしざんや図を使うことで，子どもたちは説明を進めてきました。

また，4/5＋4/5＋4/5=12/5というたしざんでも12/5Ｌになることを証明することができました。ところがこの方法に対しては，次の声があがります。

「何分の数が大きくなったら大変だ」

「切手の問題も，列が大きくなったら計算が大変になったのと似ている」

分子だけを計算する有効性が見えてきました。すると，どんな数でもこの方法が有効に見えてきます。ところが，「でも３回やっていないから分からないよ」と，早急な一般化に警鐘を鳴らす声が聞こえてきました。

本時は３０分ほどの授業時間のため，１問だけで終わってしまいましたが，よい見方が生まれてきました。

 

但馬算数セミナー開催のお知らせ

夏休み中の８月２１日（木）に兵庫県豊岡市で但馬算数セミナーが開催されます。テーマは，

「愉しさが溢れる算数授業づくり」

「愉しさ」か「楽しさ」か。読み方は同じですが，意味は全く異なります。この部分に焦点化して話を進めていきます。

地元の先生による模擬授業も開催されます。豊岡市はコウノトリの繁殖で有名な場所ですね。また，近くには城崎温泉もありますね。観光のついで？に，セミナーに参加されてはいかがですか。

お申し込みは以下のアドレスからお願いします。

https://www.kokuchpro.com/event/a3b5a0a21cd35100bc3d8c47dfecbee2/

楽しい算数？ 愉しい算数？ 求める授業像はどちら？

 昨晩は今夏出版される全国算数授業研究会企画の出版本に掲載する座談会が開催されました。テーマは「算数授業に必要な愉しさ」です。

「たのしい」という言葉を漢字に置き換えると「楽しい」「愉しい」の２種類があります。私たち全国算数授業研究会が求める「たのしさ」は後者の「愉しさ」です。

学習指導要領が求める「主体的で対話的で深い学び」もこの「愉しさ」がベースとなっています。

「楽しい」「愉しい」の違いはなにか，またそれを授業レベルで考えたら具体的にどういうことなのかを座談会で語り合いました。

メンバーは私の他は筑波大学附属小の盛山先生（会長），大野先生，青山先生です。４人での座談会の内容は今夏発刊される企画本に掲載されます。お楽しみに！

周りの長さは？

長方形の周りの長さを求める問題を提示します。ヒントがないと求めることはできません。

そこで，内部に正方形があること。また上の辺の左側が１２ｍ，下の辺の右側が８ｍであることを伝えます。しかし，これでもまだ周りの長さは分かりません。そこで，「どこを知りたい？」と尋ねます。子どもからは「正方形の長さ」と声があがります。

そこで，正方形の一辺の長さは５ｍであることを伝えます。これなら計算で長さが分かります。結果は，４０ｍになりました。

次に，正方形の一辺の長さを変えても計算ができるのか尋ねます。「できる」「さっきと同じ」と声があがります。そこで，７ｍの場合を計算します。

結果は４０ｍです。先ほどと同じ答えに子どもたちはざわめいています。多くの子どもは，答えは長くなると予想したからです。

こうなると子どもたちは，答えが同じになる理由を知りたくなります。

「伸びて縮んだんだ」

「横が長くなった分，脇が短くなる」

「文字式だと横は１２−ａ＋８で縦はａｍになる」

「ａが１ｍなら横は１９ｍで縦は１ｍ。ａが２ｍなら横は１８ｍで縦は２ｍ」

「横は縮んで縦は伸びた」

「差し引き０だ」

文字式を使うことで，正方形の長さが変わっても周りの長さが変わらないことが見えてきました。

グラウンドのセパレートコースは合ってる？

 「グラウンドトラックの１ｍ外側を走ったら，内側よりも何ｍ長く走ったことになりますか」

このように尋ねます。子どもから，グラウンドの「直径の長さを知りたい」と声があがります。そこで，直径が２０ｍであることを教えます。

計算の結果，外側を走る人は６．２８ｍ長く走ることが分かりました。

次に，地球の表面と１ｍ外側を走った場合の差を考えます。「グラウンドよりも長くなる」と考える子どもも多くいました。

計算の結果は，この場合も差は６．２８ｍとなりました。この結果を見た子どもから，声があがります。

「さっきと同じだ」

「やり方が同じだ」

「+２が同じだ」

子どもたちは，グラウンドと地球の差を求める式を比べたのです。結果は，グラウンドの２０ｍと地球の１２８００００ｍの数字が異なるだけで，残りの式は同じ構造になっていることに気がつきました。すると，「文字式にできる」「変わったところを文字にしたらいい」と声があがってきます。

そこで，２つの式を文字式に変身してみます。結果は，次のようになりました。

（ｘ＋２）×３．１４−ｘ×３．１４＝（X+２−ｘ）×３．１＝２×３．１４

文字式に置き換えることで，直径がどんな長さでも答えはいつでも６．２８ｍになることが見えてきました。

子どもたちが運動会で行う徒競走でも内側と外側の差を考慮してスタートラインがずれています。そこで，その実際の長さを確認すると，「そんなに離れていない」と声があがります。最終的には，１人のレーンの横幅は「１ｍもないよ」と声があがります。０．５ｍなら，今回学習した長さのズレの半分になります。最後は体育場面と関連させて考えることができました。

切手を切る

「何か所切ったら切手はバラバラになりますか」

子どもたちに尋ねます。縦に４枚つながった切手シートは，３カ所切ることでバラバラになります。

では，この切手シートが２列になった場合は何か所でバラバラになるでしょうか。切手１枚の辺に沿って切るのを１か所というルールにすると１０カ所でバラバラになります。

この結果から，次の声があがります。

「７増えた」

「だったら，次は１７だ」

３列目を予想する声が生まれてきました。そこで，３列目を実験します。結果は予想通りに１７カ所です。すると，声があがります。

「比例だ」

「比例？」

「比例は２倍３倍になるんだよ。でも，これはなっていない」

「７ずつ増えるんだよ。だから次は２４」

「絶対にそうなるね」

「もう何列でも大丈夫だ」

７ずつ増えることへの確信を持った声が生まれてきました。

そこで，「５１列なら何か所？」と尋ねます。子どもの予想する数はズレました。そこで，時間をとって考えさせます。

多くの子どもは単純に７ずつ増やすのではなく，次の式を書いていました。

３+７×（５１ー１）＝５３

ところが，この式を見た子どもから「なんでー１？」と声があがります。それ以外の部分の意味は読解できているようですが，「ー１」の意味が見えないようです。

「１列増えると７ずつ切る場所増える」

「でも，１列目だけは３カ所」

「だから，１セットが７カ所なのは列の数よりも１つ少ない」

「手の指の間の数と同じだよ」

「だから，列をｘにしたら３+７×（ｘー１）になるよ」

様々な例で，子どもたちは「ー１」の理由を説明してきました。最後は，文字式を使った説明も生まれてきました。

 

何を表している？

「（a+b）×４÷２の式は何を表していますか」

このように子どもたちに尋ねます。子どもからは，「台形の面積」と声があがります。

そこで，自分のイメージした台形の図をノートに描かせます。上底の長さをａ，下底の長さをｂ，高さを４㎝とする図が描かれました。ところが，「それだと÷２がない」と声があがります。そこで，「÷２」が見えるようにするためにはどうしたらいいのかを考えます。

子どもたちは，台形の面積の求め方を考えた学習場面に戻り，倍積変形の図を付け足しました。これなら「÷２」が図の中に見えてきます。

すると今度は，「ひし形もできるんじゃない？」と声があがります。そこで，ひし形も文字式に当てはまるのかを考えます。子どもたちは「無理矢理だけど・・・」と言いながら，１本の対角線を中点から左右にａ㎝・ｂ㎝と分割した上で，倍積変形の図を完成させることで図ができると考えました。ところが，次の声があがってきます。

「ａとｂは違う数なのに，この図だとａとｂは同じ長さになるのでおかしい」

異なる文字を使っているのに，図のａとｂの長さが等しいことに対する違和感です。このような感覚をもてることも大切ですね。

「だったらこんな図ならどうかな・・・」

この声で生まれてきたのがたこ型です。これなら１本の対角線の長さを，対角線の交点から左右に違う長さに設定できます。

さらに「三角形もできるんじゃない」の声が聞こえてきます。そこで，イメージした図を描かせます。

多くの子どもの図は，底辺を左右に分割しそれぞれａ㎝・ｂ㎝とするものでした。

この図を考えた源泉は，ひし形やたこ型にあります。１本の対角線をａ㎝・ｂ㎝に分割したイメージを活用したのです。

一方，底辺をｂ㎝としてその上の頂点部分をａ㎝と考えた子どももいます。この場合は，ａの部分の実質的な長さは０㎝です。この図を考えた源泉は，台形の図です。

どの考え方を源泉とするのかで，新しい問題場面への向き合い方も変わってきます。

最後に正方形も同じようにできるのか，図を描いてみました。ひし形・たこ型を源泉とした子どもは，正方形の一辺の長さをａとｂの２つに分割しました。しかし，この図では（a+b）×４÷２にはなりません。

そこで，台形を源泉とする図で考えます。この場合は，正方形の下底部分をｂ，上底部分をａと考えることで，文字式と合致できます。

文字式と図の往復運動で考えを深めていくことができました。

 

必ずしもそうではない!？

 「X+７＝３５の式に当てはまる問題文を作りましょう」

このように投げかけます。問題文作り自体は簡単です。その後，Xの値も求めます。この文字式では，３５-７＝２８と引き算でXの値を求めることができます。

そこで，「たしざんの式になる場合はXに当てはまる数は，その逆の引き算で求められます」とここまでのことをまとめました。すると，この言葉をきっかけに，子どもたちが動き出します。

「だったら，わり算だったらかけ算だね」

「待って，必ずしもそうではないかも」

「わり算でもわり算かも・・・」

「かけ算ならわり算だよ」

「引き算ならたし算だよ」

「これも違うのあるかも？」

子どもたちは，Xを求めるためには必ずしも逆算にはならない場合があるかもしれないと考えました。

そこで，絶対に逆算になると子どもたちが自信があるかけ算の場合を考えます。

「８×X＝２０」

この場合は，わり算でXの値が求められます。すると，「（Xの位置が）逆なら？」と声があがります。そこで，「X×４＝３２」を実験します。この場合も，逆算のわり算でXの値を求めることができました。

次に，「必ずしもそうではないかも」と声のあがった，引き算とわり算を実験します。

「X−６＝１５」→足し算

「１５−X＝１」→引き算

「X÷４＝８」→かけ算

「４５÷X＝１５」→わり算

子どもたちの予想通り，必ずしも逆算ではない式もあることが見えてきました。

子どもの声で次の問題場面が生まれてきた１時間でした。逆算でない式は小学校では扱わないことになっていますが，子どもの思いはそれを超えていきます。

今年も淡路楽しmath講座開催です！

 毎年恒例の兵庫県淡路島で開催の淡路楽しmath講座が開催されます。

日時：７月２７日（日）１３時３０分～１６時３０分

会場：兵庫県洲本市洲本市民交流センター

今年も私の公開授業と講演があります。授業は異学年混合で行います。複式×２のような学級編成ですが，毎年盛り上がっています。淡路島観光を兼ねてお出でください！

お申し込みは，以下のアドレスからどうぞ！

daisukeuematu78@yahoo.co.jp

丸は全部で何個？

「丸は全部で何個？」

子どもたちに尋ねます。図を提示する前でしたが，子どもからは「数えたらいい」「縦×横でできる」「でも，四角じゃなかったらできないよ」と声があがります。図のイメージが浮かんでいるようです。

子どもに提示したのは，正三角形状に丸が並んだ図です。丸が１２個あることは分かりました。１つずつ丸を数えた子どももいましたが，計算で求めた子どももいます。

４×３

５×３−３

１＋２＋３＋４＋５−１−２

３×３＋３

これらの式が生まれてきました。

その後，「５×３−３の式を文字式にできるかな」と尋ねます。一辺の丸の数をｘとすると，文字式は「x×３−３＝ｙ」となります。この文字式の意味を読解すると，子どもから次の声があがります。

「この文字式なら，四角形もできるよ」

「正方形ならだけどね」

子どもたちは，文字式の対象場面を拡張していく方に考え方を進めていきました。そこで，四角形の場合の文字式を考えます。文字式は， 「x×４−４＝ｙ」となります。しかし，これで合っているのかは確信がもてません。そこで，具体的な事例を入れて検証します。一辺の数を５個の場合を実験します。

「５×４−４＝１６」

式の答えも図の答えも合致しました。

すると，「正○角形なら大丈夫なんじゃない？」と声があがります。そこで，正六角形も実験します。文字式は「x×６−６＝ｙ」です。実際の図で実験しても，この文字式の正しさが見えてきました。

子どもが文字式を使いたくなる場面は，大人の考え方とは異なる一面もあります。だからこそ，子どもの思いに寄り添って展開を修正していくことも大切になりますね。

 

□番目は誰？

 「こぶた・たぬき・きつね・ねこの□番目は，誰ですか」

このように子どもたちに問いかけます。この問題文を見ただけで，子どもたちは「しりとり歌」を歌い始めました。お馴染みの歌ですからね・・・。

最初は「１４番目は？」と尋ねます。「１，２，３，４，５，６･･･」と順に数える子どもたちの姿も見られました。一方，式で答えを見つけようとする子どももいました。

式を使う場合は，「１４÷４＝３あまり２」となります。この式の意味を全員で読解していきます。あまりの数によって，どの動物が□番目になるのかを決定できることが見えてきました。

その後，２５番目，４００場面の動物を考えます。４００番目はあまりはありません。この場合は，「あまり０」「あまり４」と考えることで，「ねこ」になることが見えてきます。

次に問いかけたのは，「□番目と聞かれたら，どんな式を作りますか」です。子どもたちは，これまでに学習した記号を活用して，「□÷４＝○あまり△」と式を作りました。的確に記号を使うことができました。

その後，□をｘに，○をｙに，△をaに置き換えます。文字式との出合いです。文字式を見た子どもからは，「スキッリする」「かっこいい」などの肯定的な声が聞こえてきました。

難しいイメージのある文字式ですが，子どもの身近な題材から導入することで文字式へのハードルを下げることができました。

「子どものストーリーでつくる算数の授業」申し込み開始！

お待たせしました。授業テラス主催の対面＆ハイブリッド講座の申し込みが始まりました。

日時：５月３１日（土）１３時３０分〜

会場：大阪市エル・おおさか

内容：

13:15　受付

13:30　オープニング
13:45　模擬授業

• 参加者の希望者による算数模擬授業
• 協議（感想・意見）
• 尾﨑先生による講評

15:35　尾﨑先生による講義（”子どものストーリー”でつくる算数の授業）
16:45　閉会、解散

17:15　懇親会（希望者のみ：先着10名限定）

今回は難関単元の模擬授業も開催されます。こちらも楽しみな企画ですね。

お申し込みは，以下のアドレスからお願いします。

https://peatix.com/event/4390444/view?utm_campaign=pod-11433527&utm_medium=email&utm_source=follow-organizer&utm_content=5588415&dlvid=714ffcb8-c8b4-4667-b9cb-4803fa71553d&sltid=0

対称の中心がずれたら・・・

 「分度器を使わずに，点対称な図形の残り半分を完成させよう」

このように投げかけます。子どもたちから，次の声が聞こえてきます。

「NO.８の勉強でも似ているのをやったよ」

「対角線の長さが同じならできるよ」

既習のノートを振り返りながら，子どもたちは作図に対して自信を深めています。

そこで，最初の図形を提示します。対称の中心と三角形の頂点が重なる図形です。この図形は，簡単に点対称図形が完成しました。すると，次の声が聞こえてきます。

「角が２つだから，対角線も２本引いた」

「角は３つじゃない？」

「２つの角はお向かいさんができるけど，黒丸（右下）に頂点は対称の中心と重なるから」

「黒丸の頂点にはお向かいさんがないから，角は２つでいい」

作図に必要となる頂点が２つでいい理由が見えてきました。すると今度は次の声があがります。

「でも，中心が頂点と重なっていないと３本対角線がいる」

「重なっていないと，点対称図形はできるの？」

「できるよ。昨日の矢印はずれていてもできたよ」

「四角形もできた。だから，三角形もできるよ」

そこで，中心が頂点からずれた三角形の作図に挑戦します。今回は，３つの頂点からそれぞれ対称の中心を通る直線を伸ばす必要があります。子どもたちは，写真右下のような図を描くこともなく正しく作図ができていました。

１問目と２問目が子どもの思いでつながったからこそ，２問目が正しく作図に取り組めたのです。ストーリーのある展開が，学びを深化させていくことが見えた一コマでした。

「子どもが愉しむ算数授業講座」開催

 ６月１４日（土）に兵庫県川西市川西商工会議所を会場に，関西math勉強会が開催されます。テーマは，「子どもが愉しむ算数授業とは」です。

模擬授業対決やワークショップなど盛りだくさんの内容となっています。是非，ご参加ください。詳細・お申し込みは以下からお願いします！

https://www.kokuchpro.com/event/c47c1056a4599ef6d4be4dd4bb9411c3/

点対称の残り半分を作図する

 「点対称図形の残り半分を完成させよう」

このように投げかけます。これと同時に生まれてきたのが，次の言葉です。

「対角線を引く」

「斜めの線になる」

「中心を通る」

「４本引ける」

「４本？　２本じゃない？」

「昨日の勉強でやったよね。中心からの長さが等しくなるようにしたらいいんだよ」

前時の学習を生かす声が生まれてきました。子どもたちは，前日のノートを見ながら考えを作り上げていきました。

しかし，対角線の本数を巡りズレが生まれました。２本は全員がすぐに見えてきました。中心を通る，斜めの線です。

一方，残りの２本が見えていない子どもたちもいました。すると，「重なるけど」と声が聞こえてきます。最初の図形の底辺部分に２つの頂点があります。そこから中心を通る対角線を引くと，その２本が重なってしまいます。結果的に３本目の中に４本目があるように見えます。また，底辺部分には辺となる直線があるため，そこが対角線には見えにくかったのです。

この底辺部分を対角線と認識できれば，対角線が４本あることが見えてきます。後は，中心から対応する頂点までの長さが等しくなるように点を順に打っていけばいいのです。

２問目は，矢印が半分になった図形を提示します。見た目に騙され，底辺部分の長さをきちんを測定しない子どもたちがいました。対称の中心は，底辺部分の中心にはありません。少しだけずれています。従って，板書のように上下の図形が少し左右にずれた配置になるのです。思い込みで線をつないでしまうと間違えてしまいます。

回転したのはどれ？その２

 前回の学習のその後です。

「１８０°回転すると重なる文字の条件に，Ｓは当てはまるのかな？」

「Ｓは対応する辺がないのではないか」という疑問が前時の授業終末に生まれました。そこで，Ｓに焦点化して子どもたちと考えます。

次の声が生まれてきました。

「Ｓの上と下を合わせると円になる」

「でも，間はどうなるの？」

「間も，真ん中から上と下に分けたら，回したら重なるよ」

曲線があるからイメージ化が難しかったようですが，Ｓを分割していくことで対応する部分が見えてきました。

その後，回転して重なる文字にＺ,O,I,Xが生まれてきました。さらに，「トランプにも重なるのがある」と声があがります。そこで，トランプを確認します。数字や模様によって，回転して重なるものとそうではないものあることが分かりました。

その後「点対称」の用語を教えます。最後は，提示した図形が点対称か否かを考えました。

最初の提示したＳ字に近い図形について，「対角線を引いたら分かる」と声があがります。そこで，この声の意味を読解します。

「対応する頂点を結ぶ」

「線対称でも似ていることをやったね」

「対角線の長さが，真ん中の点から同じ長さなら点対称だ」

「これって，前の時間の中心からの長さが同じの考えといっしょだね」

既習の考えを活用した声が生まれてきました。この見方を使えば，回転しなくても点対称か否かを判断できます。

動いたカードはどれ？

 「カードを動かします。どれを動かしたか当てましょう」

このように投げかけ，アルファベットを順に提示していきます。Ｙ，Ｃが提示された時点で，「全部線対称だ」と声があがります。それと同時に，対称の軸をジェスチャーで示す動きも見えてきました。Ｙは縦方向，Ｃは横方向の対称の軸を示す動きが生まれてきました。

その後も同様に，全部で９文字を提示します。

子どもたちに目を閉じさせ，その間に文字を動かします。

目を開けた子どもたちは，一斉に「A」と声をあげます。Aの向きが反対に変わっていたのに気づきました。さらに「１８０°動いた」と，具体的な角度を使った説明も生まれてきました。

すると，「Ｈも変わってる」の声が聞こえてきました。そこで，Ｈを話題の中心にします。

「Ｈが変わっているという人がいるけど，気持ちは分かる？」

このように尋ねます。

「回しても同じになる」

「２本の対角線の交わっているところで回転すると，重なる」

「平行が２本あれば，回転しても重なる」

「Ｎも回転すると重なるけど，平行は１本しかないよ」

「回転する中心から端までの長さが同じなら重なるんじゃないかな」

「それならＥだって同じ長さになるよ」

「中心の反対側に線があるときは重なる」

「Ｅの左の縦線の反対には縦線がないから，これはだめだよ」

子どもたちは，１８０°回転して重なる図形の共通点を探ろうと考えました。その結果が，上記のようなまとめでした。

その後，「他にも回転すると重なるアルファベットはあるかな？」と尋ねます。

「ＩもＯもそうだ」

「これもお向かいがあるね」

「Ｚ，Ｓもそうだね」

「でも，Ｓってお向かいさんはあるの？」

「曲がっているけど，あるよ」

「え？それってお向かいさん」

辺がカーブする文字が出てきたことで，子どもたちがまとめかけたきまりが揺れ始めました。この日はここで時間切れとなりました。

点対称につながる図形の構成要素がたくさん生まれてきた１時間でした。この授業の詳細は，授業テラス講座でお知らせする予定です。

線対称図形の作図はできるかな？

 

子どもたちに，「線対称な図形の残りを作図して完成させよう」と投げかけます。

子どもからは，「マス目がほしい」と声があがります。

最初に提示したのは，子どもの要望通りのマス目がある図形です。これはすぐに完成しました。マス目を頼りに対応する頂点の位置を決めた子どもが多くいました。

一方，それとは違う方法で対応する頂点を決めた子どもがいました。そこで，「ここに線を引いた人がいます」と言って，対称の軸に垂直なる直線を１本だけ引きます。そして，「ここに線を引いた気持ちは分かりますか？」と読解活動を行います。次の声があがります。

「対応する頂点の高さが同じなので，横に線を引いた」

「対称の軸から頂点までが７ます。だから右側も７ますのところが頂点になる」

対称の軸と対応する頂点までの関係が見えてきました。この作図方法が，線対称の学習を活用した描き方になります。

すると子どもから，「マス目がないとできない」と声があがります。すると，「昨日の勉強でやったみたいに，辺の長さと角の大きさを調べたらできるよ」と声があがります。既習を活用することで，マス目がない場合の作図方法を探ろうとする声です。

２番目に提示したのは，白紙の上に対称の軸が斜めに引かれた図形です。子どもたちは，先ほどの問題と同じように，対応する頂点を見つけていきます。一方，対称の軸が斜めに位置付くために，戸惑っている子どももいました。そこで，「まず，何をしましたか？」と尋ねます。

「さっきと同じように，対称の軸から垂直に線を引きます」

と説明が始まりました。そこで，「さっき」とはなにかを尋ねます。

「①の問題で，対称の軸から左と右の長さを同じにしたから，それと同じに考える」

子どもの言葉には，既習を活用しようとする中身が含まれています。それを鋭く見つけて，他の子どもたちに投げ返すことも，大切な仕事ですね。

３番目は，自分で線対称の作図を行いました。ノートに斜め位置に対称の軸を書きます。その後，ノートのマス目を使わずに線対称の半分を作図し，その後，反対側を作図する手順で進めていきました。

子どもからは，作図前から線対称になる形が「車」「田」「東」のように次々と発表されました。

授業最後には，「富士山は字も山自体も線対称！」という大発見の声があがりました。

「子どものストーリーでつくる算数の授業」対面講座のご案内

 ５月３１日（土）に大阪市エル大阪を会場に，授業テラス主催の対面講座が開催されます。テーマは，「子どものストーリーでつくる算数の授業」です。

難関単元の模擬授業２本もあります。こちらも大変に貴重な機会です。また，私も「子どものストーリーでつくる算数授業」をテーマに講演を行います。

申し込みはまだですが，ご興味のある方は日程を開けておいてくださいね！

紙を折らずに線対称を見つけよう

 子どもたちに「紙を折らずに線対称か調べよう」と投げかけます。折る活動に制限をかけます。

すると子どもからは，「辺の長さを調べたらいい」「角度を調べたらいい」と声があがります。両者の大きさが同じなら，線対称だという声が聞こえてきました。

そこで，最初の三角形を提示します。多くの子どもは，見た目で違うと判断しました。一方，「線対称だよ」という声も聞こえてきます。

そこで，実際の長さや角度を実験します。結果は，対応するはずの長さも角度も異なっていました。結果は，線対称ではありませんでした。

次に提示したのは，鍵穴のような図形です。今度は多くの子どもたちが，悩みました。そこで，同じ図形で辺の長さや角度を測定します。

結果はいずれも同じ大きさでした。さらに，対称の軸から対応する頂点に直線を引く子どももいました。軸との交点から頂点までの長さも等しくなっていることを発見したのです。新たな視点の登場です。

最後は，狐の顔のような図形を提示します。これも子どもの判断は分裂しました。この問題は，結論は各子どもの実験結果に委ねることにしました。大切なことは，その結論を支える根拠をどれだけ明確に文章化できるかです。ノートに言葉や数を使って自分の結論を支える根拠をまとめさせました。

これって，全国学力状況調査の問題に似ていますよね。このような問題場面を意図的に適度に設定していれば，学力調査問題もそれほど苦にはならないのではないでしょうか。

軸と辺の数の関係

 「線対称な図形かな」と投げかけ，図形を提示していきます。

最初に提示したのは，家の形の図形です。子どもたちは自席から定規や分度器を取り出し，目の前に当てています。そこで，この行動の意味を読解していきます。

「辺の長さが同じなら線対称だから」

「角度の大きさが同じなら線対称」

辺の長さと角度の大きさの両方が同じなら線対称だと子どもたちは考えました。そこで，同じ図形を子どもたちに配布します。子どもたちはそれらの大きさを測定していきます。

その結果，辺の長さも角度の大きさも等しいことが分かります。従って，線対称の図形であることが見えてきました。

２問目は，横向きの矢印のような形です。これを見た子どもたちは，手を横向きに動かしています。そこで，この動きの意味を読解します。

「縦で折ると，重ならない」

「横に折ると重なる」

「下が上に行って重なる」

対称の軸の向きが縦から横に変わった図形である指摘が生まれてきました。調べた結果，この図形も対称の軸は横向きですが，線対称の図形であることが見えてきました。

すると，この結果から次の声が聞こえてきます。

「斜めの軸もあるんじゃない？」

「正方形がそうだよ」

「長方形もだよ」

「長方形は違うよ」

「正方形は４本の軸がある」

「もっとあるよ。少し斜めにしたら，もっとあるよ」

「え，斜めだとできるかな？」

少し斜めの直線を対称の軸としたら，無限に軸ができるのではないかと考えました。しかし，それを疑う声もたくさんあがります。そこで，少し斜めの軸で折ると重なるのかを実験します。結果は，重なりません。従って，対称の軸は４本であることが見えてきました。

すると，今度は次の声があがります。

「辺の数と軸の数は，同じなんじゃないかな？」

正方形は正四角形なので，辺の本数は４本で対称の軸も４本と捉えることで，前述のきまりが生まれてきたのです。すると，この声をきっかけに声が続きます。

「五角形なら５本だね」

「でも，三角形は１本しかないよ」

「そうかな？斜めに引いたら３本あるよ」

「本当だ。だったら，五角形も５本になる」

辺と軸の本数に比例関係がありそうなことが見えてきました。そこで，正六角形の軸の数を調べます。子どもの予想通りなら，６本の対称の軸があるはずです。

　しばらくすると，「やっぱり６本だ」と喜びの声が聞こえてきます。さらに，対称の軸が複数あるときは，軸が中心で交わることや，偶数角形の場合は頂点以外からも対称の軸が引かれることなどに気づくこともできました。

線対称な図形を探す活動から，様々なきまりに気づくことができた１時間でした。

若山や はるか光は 山や川

 「何が見えるかな？」

このように投げかけ，次の文を板書します。

「若山や　はるか光は　山や川」

「若山や」の板書が終わった時点で，「俳句だ」「短歌かも」という声が聞こえてきました。

そこで，残りの文章を板書していきます。「山や川」までの板書が終わった時点で，次の声が聞こえてきました。

「やっぱり俳句だ」

「五七五になっている」

「これって国語？」

「どこから算数になるの？」

「あれ，回文？」

「えっ，本当だ！」

「平仮名にすると分かるよ」

「『わかやまや　はるかひかるは　やまやかわ』だから回文だ」

「真ん中は『ひ』だね」

「奇数だから，真ん中があるね」

１つの文章から様々な気付きが生まれてきました。すごい子どもたちです。この文章から見えてきたのは，「俳句」「回文」でした。

さて，この視点は次の問題にも当てはまるのでしょうか。次に提示したのは「丸くなるな車」です。これは，明らかに俳句ではありません。一方，平仮名に置き換えると「まるくなるなくるま」なので，回文です。従って，２つの文章の共通点は「回文」ということになります。

そこで，「次も回文かな？」と言って「Ⅰ」が５個並んだものを提示します。多くの子は，「『いちいちいちいちいち』だから，回文じゃない」と声をあげます。一方，「回文だよ」と考える子どももいました。そこで，「回文だと言っている人の気持ちは分かるかな？」と尋ねます。

「左から見ても，右から見ても同じ形が見える」

「真ん中のⅠから見ると，左右の同じ形がある」

「鏡みたいになっている」

文ではなく，「形」で見たら同じ物が左右に鏡のようにあるので回文に見えるという気持ちを共有していくことができました。

すると，次の声も聞こえてきました。

「縦を真ん中にしても重なるけど，横を真ん中にしても重なるよ」

折り目の線を縦方向から横方向へと変えても，回文に見えるという声です。これも素晴らしい視点です。

すると今度は，「だったら回文じゃなくて，回図じゃないかな」との声があがります。確かに，文ではなく図として「Ⅰ」を見ることで，左右が回文の構造になっていることが見えてきました。すると「回図」の言葉をきっかけに，子どもの発想が広がっていきます。

「円も回図だ」

「正方形もそうだ」

「長方形もそうだ」

「二等辺三角形だ」

「正三角形もだ」

「正多角形もだ」

「正とついていたら回図だ」

「平行四辺形もだ」

「え？違いかも」

「斜めに折ったら重なるよ」

「え？斜めでもだめだよ」

「台形は大丈夫」

「待って。跳び箱みたいな台形はいいけど，そうじゃないのは回図にならない」

「ひし形は回図だ」

「左右が合同なら，回図になるんだ」

「ⅠⅠⅠⅠⅠ」が回図であることを共有したことをきっかけに，回図の範囲を子どもたちが拡張して考えていくことができました。対象場面を拡張できる見方・考え方は立派ですね。

その後，２つの三角形を提示し，回図であるか否かを考えました。回図であるかを調べる中から，図形を半分に折るだけはなく，辺の長さや角度を調べる方法も見出していきました．図形の構成要素を探る視点の出現です。

２つ目に提示した三角形は，二等辺三角形と似て非なる図形でした。見た目で回図と判断した子どもたちも多数いましたが，調べる中から「違う」「回図じゃない」と気づいていきました。

子どもたちが名付けた回図とは，線対称な図形のことです。国語から算数の世界へと広がった学習でした。

九九表の秘密

 「2年生の復習からスタートしよう」と子どもたちに投げかけます。（今年は６年生です！）

空白のかけ算九九表を配布し，答えを埋めていきます。子どもたちは「ぼくたちを馬鹿にしているのですか？」と声をあげます。

やがて答えが埋まっていきます。そこで，今度は「それでは九九の答えを全部たしましょう」と投げかけます。すると，何人かの子どもから「えー」という声があがります。この声を受けて，次のように投げかけます。

「『えー』と言った人の気持ちは分かりますか？」

子どもからは，次の声があがります。

「８１ますたすのは大変」

「だったら，みんなでやったらいい」

そこで，１〜９の段を分担して計算することにしました。この計算途中で，子どもたちは様々なきまりが九九表にあることにも気づいていきました。

各段の答えを両端から順にたしていくと，同じ数が４パターン生まれること。

段数の５倍の数を９倍すると，合計数になること。

各段の真ん中の数の９倍が合計値になること。また，それは平均の考え方を使っていること。

これらのきまりに気づいていていくことができました。いずれも６年生らしいきまり発見でした。

さて，問題は８１ますの合計数でした。最後に各段の合計をたしていきます。結果は，「2025」です。子どもからは「すげー！」と歓声があがりました。

2025年度のスタートに相応しい学習でした。

本教材は，田中博史先生の算数講座で教えていただいた内容を活用したものです。