価値付けは記憶に残る

 本校は大学までの一貫校です。中等部は同じ校舎にあります。先日，初等部６年生が中等部２年生の授業を参観する機会がありました。子どもたちを引率して教室に入ると，そこには初等部の時に私が算数を教えた子どもたちの姿もありました。私を見つけた子どもたちからは，

「あっ！尾﨑先生だ！」

「『すばら』懐かしい！」

「また『すばら』下さい」

などの声が聞こえてきました。「すばら」とは，子どもから生まれてきた見方・考え方が価値あるものだった場合に，私がホワイトボードに大きく「すばらＣ」というマークを板書し賞賛した印です。子どもたちは，この体験を鮮明に覚えていたのです。なかには，紙を差し出して「ここに『すばら』を書いて下さい」と懇願する子どももいました。もちろん書きましたけどね・・・。

授業の中で子どもの考え方を価値付けること・褒めていくことは，時間が立っても彼らの記憶に確実に残っていくことを証明する出来事でした。

価値ある見方・考え方が生まれた際には，大いにそれを価値付け，褒めていきましょう。できれば，先生方なりの褒め褒めマークがあるといいですね。本校の先生の中には，私の「すばら」マークを自分なりにデザインして板書する先生もいます！

あまりは？

 分数のわり算の時間です。次の問題を提示します。

「2.1/5Lのジュースがあります。2/5Ｌずつびんに分けます。びんは何本できて，何Ｌあまりますか」

立式から計算を行う場面まではスムーズに進みました。

「2.1/5÷2/5＝5.1/2」

この計算結果から，子どもたちは「５本に分けられて，1/2Ｌあまる」と考えました。いずれの数値も前述の分数のわり算の答えにあるものです。子どもたちも，この答えに納得です。

ところが，「あまりがおかしい」という声があがってきます。この声に対して，

「なんで」

「なにがおかしいの？　説明して」

「答えに５と1/2があるんだから，これでいいんだよ」

と猛反発の声があがります。目の前に見えている数値は「5.1/2」しかないのですから，当然の反応です。これらの声を踏まえて，今度は「図を描いたら分かる」と声があがります。これまでの分数の学習では，最後は図で答えの真偽を確かめてきました。その経験が生きてきました。

ノートに作図を行います。ところがしばらくすると，「うまく描けない」という声が聞こえてきました。これまでに彼らが経験してきた図は，１当たり量を求めるものです。しかし，今回はそれとは異なります。包含除の問題場面です。

そこで，別のタイプの図を描いている子どもの図の一部をお手本として板書します。この図を頼りに，続きを全員で考えていくことにしました。

図が完成すると，あまりの部分は「1/2L」ではなく「1/5L」になることが見えてきました。そうなるとわり算の答えの分数部分の「1/2」は何かということが，子どもたちの新たな疑問となります。この疑問を乗り越える場面は，時間をかけて展開していきました。

「2/5の半分（1/2）だから，答えが1/5Lになる」

「2/5L入りのびんに入れるのが問題。1/2というのはその半分だけあまるということ」

「2/5Lのびんの中の半分だけあまる（図を描きながら）」

「（テープ図をさらに伸ばしながら）６本目のびんがあるとすると，６本目のびんの半分だけジュースが入るから，それが1/2」

「式でも分かります。2/5Lの1/2だから，2/5×1/2=1/5Lとなる」

答えに現れた1/2は水の量を表す数ではなく，わる数の割合を表していることを見つけていくことができました。

分子が・・・

 子どもたちに次の問題を提示します。

「2/3分で1/4Lのアイスティーを作るマシンがあります。１分では何Ｌのアイスティーを作ることができるでしょうか」

式は1/4÷2/3となります。この計算は，1/4を倍分することで計算ができることは既習です。従って，（１×６÷２）/（４×６÷３）＝３/8(L)と計算ができます。念のために，図でこの計算結果が正しいのかを確認します。この図が子どもには難しいですね。筑波大附属小の夏坂先生もご講演の中で「分数の面積図は難しい」とおっしゃっていましたが，まさにその通りです。

さて，面積図でも答えが3/8(L)になることを確認することができました。ところが，計算の際に倍分を行ってからわりざんを行う手続きに対して，前回の学習から「めんどうだ」と声があがっていました。そこで，この声を子どもたちに投げかけます。

「倍分すると面倒だという人がいたね。だったら，なにかいい方法はあるかな？」

するとＭ男が声をあげます。

「分子の計算の６÷２は３になる」

この説明で，「あー」と納得の声やその先の説明を予測する声が聞こえてきました。一方，まだＭ男の気持ちが見えていない子どもたちもいました。そこで，この部分をていねいに展開していきます。

「同じように分母の６÷３は２になる」

「そうすると式は，（１×３）/（４×２）になって，÷3/2の分母と分子が反対になった」

「逆数をかけるということになる」

倍分による式変形の中から，逆数をかける計算につながる部分をＭ男は見つけてきたのです。じっくりと式を見つめたよい視点でした。

この他にも，次のような見方も生まれてきました。

「前の分数÷整数の勉強で÷３→×1/3だったのは，÷3/1→×1/3と考えたらすでに逆数をかけることになっていた」

「1/4÷2/3=(1/4)/(2/3)と考え，倍分方式で2/3をかけると分母が消えて，1/4×2/3になる」

「2/3分を１分にする問題だから，４ます関係表のように考えると，2/3分に3/2をかければ１分になるから，式は2/3×2/3になる」

分数のわり算を逆数をかける式に変身して計算を行ってもよい意味を，式の中や問題の意味から見いだすことができた時間となりました。

図の中に4/6Ｌが見えないのはなぜ？

 前回の学習では，「4/6÷2/3＝１」の図の中に割られる数の4/6Ｌが見えないことが問題点となりました。そこで，前回の図を見直すところからスタートします。

子どもたちは，問題文を見直します。

「最初は2/3分で4/6Ｌだから，まだ１分に行っていない。だから，2/3分までを見る」

「2/3分で4/6Ｌ作るということは，2/3分で１Ｌの中の4/6Ｌということ」

「2/3分までを見たら，１Ｌの中にある小さな部屋は1/12Ｌになる」

「赤いところは，1/12Ｌが８個分だから8/12Ｌ=4/6Ｌ」

これで問題場面と図が合致しました。前回は，１Ｌの範囲を図全体と勘違いしていたのです。そのために，一番小さな部屋の大きさも勘違いしたのです。

実は，もう１つ子どもたちが勘違いしていたことがあります。それを子どもたちに投げかけます。

「１分たったらココアはどこまで増えるの？」

前回の子どもたちは，図全体で１Ｌだと考えました。しかし，この捉えが間違っているのです。しばらくすると，子どもたちが動き出します。

「横に増える」

「2/3Ｌの横に増えていく」

「1/3Ｌ，2/3Ｌ，3/3Ｌとどんどんどんと増えていく」

子どもたちは，ジェスチャーを使いながら赤く塗られた4/6の部分が横に増えていくことを表現してきました。１分で作られるココアの量は，色が塗られた全体部分です。この大きさは，1/12Ｌが12個分なので，12/12Ｌ=１Ｌとなります。これも計算での答えとも合致します。

分数のわり算場面を図に置き換える難しさや，わることの意味を考えていくことができた時間となりました。

また，子どもの誤答の論理を一旦受け止め，そのまま展開していき，最後にその論理の間違いに気付かせるという展開も試みてみました。

あれ？ ちがう！

 分数÷分数の導入場面です。子どもたちに次の問題を提示します。

「2/3分で4/6Ｌのココアを作るマシンがあります。１分では何Ｌのココアを作ることができますか」

４ます関係表を使って，式は4/6÷2/3になることを見出していきました。

次に，この計算方法を考えます。子どもからは，「前と同じだ」という声があがります。そこで，この声の意味を共有していきます。

「分数のかけ算と同じ」

「かけ算は，分子×分子，分母×分母だったから，わり算も同じように分子÷分子，分母÷分母を計算すればいい」

「かけ算は『かけるかける方式』だったけど，わり算は『わるわる方式』でできる」

子どもたちは，分数のわり算もかけ算と同じように計算ができると考えました。そこで，この方法で計算を行います。結果は「2/2Ｌ」ですので，「１Ｌ」となりました。ところが，この結果を見た子どもから，「本当に合っているの？」と声があがります。

そこで，図で答えの確認を行います。ところが，この作図が難問でした。どう作図したらよいのか悩む子どもがたくさんいました。

そこで，先ずは「2/3分で4/6Ｌのココアを作るマシン」の部分を作図します。これは簡単にできました。問題は，１分になった図です。最終的に子どもたちが考えたのが，右図です。さらに，この中の１分で作られるココアの範囲を青の部分だと考えました。

そこで，この青の部分が何Ｌかを考えます。

「一番小さいますは，1/18Ｌ」

青の内部は18分割されています。そこから来た考えです。そうなると，青は1/18Ｌが18個分ですから，１Ｌとなります。計算の答えと合致します。子どもたちは納得をしています。

ここで子どもからは，「÷2/3をしているのに，答えが増えるのは変だ」と声があがります。これについては，「１分当たりを求めるから合ってる」と声があがりました。わり算なのに答えが増えることに違和感を抱いたのです。しかし，これは解決します。

さて，ここで次のように子どもたちに投げかけます。

「最初の図をもう１回見てみよう」

2/3分の図を見直します。１ますが1/18Ｌだと考えると，2/3分の部分は8/18Ｌ=4/9Ｌとなります。本当は4/6Ｌのはずなのに，異なる大きさとなります。この結果に，子どもから「あれ？」「違う」と戸惑いの声があがります。いろいろと考えましたが，この時間では解決には至りませんでした。一体，どこがおかしいのでしょうか？

今年も開催決定！ 算数夏祭り

 毎年恒例の新潟算数夏祭りの開催が決まりました。

日時：８月２７日（土）１３時～１６時２０分

会場：新潟市立中央図書館（ほんぽーと）＆Zoom

会費：１５００円

今回のテーマは，

「キーワードに振り回されるな!!～本当に子どものためになる教育ってなんだろう？～」

です。「個別最適」「協働的な学び」など，次の学習指導要領のキーワードと呼ばれる言葉がすでに氾濫しています。「見方・考え方」「主体的・対話的で深い学び」が今回の学習指導要領のキーワードですが，この言葉はすでに過去のもの？　

残念ながら，これらのキーワードはすべて国から降ってきたものです。現場からの声で創り上げられたものではないのでは？　今回の会では，これらのキーワードを吟味するとともに，本当に子どものためになる授業の進め方とはなにかを，実際に毎日授業を行っている授業人だからこそ発信できる内容を軸に，参加される先生方と考える会にしていきます。

今回も新潟の熱き算数人とコラボします。また，ハイブリッド開催ですので，遠方の先生も参加可能です。

参加お申し込みは，以下のアドレスからお願いします。

https://www.kokuchpro.com/event/39a8ab9b3c97a62252b3fcd59d335910/

子どもの見方

 分数×分数の授業を行っていたときのことです。縦：2/3ｍ，横：3/4ｍ，高さ：4/5ｍの直方体の体積を求める問題に取り組んでいました。体積を求める式は，「2/3×3/4×4/5＝2/5（㎥）」になります。私は，次は別の図形の問題に進もうと考えていました。すると，Ｎ子が「気付いたことがあります」と声があげました。一体，なにに気付いたというのでしょうか。

「３つの式の最初の分数の分母は３。２つ目の分数の分子は３で同じ。分母が４。３つ目の分数の分子は４で同じ。そして，答えは，同じ数字がない最初の分数の分子と最後の分数の分母になっている」

この声を聞いて，「当たり前だよ」という声も聞こえてきましたが，「たまたまだよ」という声も聞こえてきました。前者は演繹的に考える見方です。後者は一般化の視点に立った見方です。

先ずは，Ｎ子の見付けたきまりに，一般性があるのかを「4/5×5/6×6/7」の計算で試します。すると，結果は4/7です。この計算でもＮ子の決まりが当てはまりました。一般性が見えてきました。すると，今度は「当たり前だよ」という声が，先ほどよりも強烈に高まってきます。子どもたちが，式に対して演繹的に捉えたくなっていることを示した姿です。

「今の計算なら，途中式で分母と分子を約分すると，同じ数同士が消える。残るのは４と７だから当たり前だよ」

「分母と分子の数字の順番を入れ替えたら，さっきの式は『5/5×6/6×4/7』になって，『5/5×6/67』は『１×１』と同じだから4/7になる」

「数字の順番を入れ替えてもいいのは，途中式が分子は『4×5×6』で分母は『5×6×7』だから，その部分だけを見たら数字の順番を入れ替えてもいいんだよ」（Ｙ子）

Ｙ子の説明は，式の数値を単純に変えたら問題場面の意味が変わることを意味しています。『5/5×6/6×4/7』に式変形を行うと，直方体の形自体が変わってしまいます。場面を変えて考えるのではなく，途中式の分母と分子に視点を分けて考えることで，式の順番を変える正当性を説明したのです。論理的なすぐれた見方が生まれてきました。

短い時間でしたが，子どもから生まれた発想をもとに，分数の新たな見方を実験することで，その一般性を確かめることができた時間となりました。