平均の平均ではだめなの？

 「ひろとさんのバスケチームで，１０人の身長を測りました。

男子　151.6㎝，152.7㎝，153.8㎝，147.2㎝，148.3㎝，149.4㎝

女子　151.4㎝，154.7㎝，150.3㎝，153.6㎝

男子６人の平均は150.5㎝，女子の平均は152.5㎝です。このグループ全体の１０人の身長の平均を求めよう」

長文の問題です。子どもから聞こえてきたのは，「平均の平均」という言葉でした。この言葉の意味を読解します。

「男子の平均は150.5㎝，女子の平均が152.5㎝」

「この２つをたして２で割る」

この方法なら，簡単に計算ができます。しかし，「なんとなく変」「それはおかしい」という声があがります。しかし，その理由を明確に表現することは難しいようです。

そこで聞こえて来たのが，「人口が違う」という声でした。この声を膨らませていきます。

「人数が同じなら，たして２で割ればいい」

「例えば，男子２人女子２人なら，平均の平均でいい」

「でも，男子の人数の方が２人多いから，それはできない」

「男子が２人多いから，最後の平均は男子の150.5㎝に近い数値になるよ」

「男子の合計は，男子の平均が分かっているから，それを６倍したらわかる。女子も平均が分かっているから，それを４倍したら合計が分かる」

「それぞれをたして，１０人で割れば本当の平均が出る」

「計算すると，151.3㎝。本当に男子の平均に近い数字になった」

データを構成する数が異なる場合の平均の求め方を考えた１時間でした。「平均の平均」の発想は子どもらしい考えですが，うまくいくのは特殊な事例の場合です。それを学んだ時間でいた。

素材は「板書シリーズ５年」東洋館出版社を使っています。

算数授業がうまい先生にはどんな「技術」がある？

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何個必要かな？

 「正五角形を輪になるように一周つなげます。正五角形は何個必要ですか」

アイテムの掲載されている教材を提示しました。ただし，図は提示しません。子どもの頭に，どのような映像が浮かぶのかを見たかったからです。

「どういうこと？」「円？」などの声があがります。頭のイメージをノートに描いてもらいます。辺が離れている図とくっついている図の２パターンがありました。今回は辺をくっつけるタイプであることを確認します。

しかし，イメージができても，その後の解決策が見つからない子どもがたくさんいました。「正五角形を描けば分かる」との声があがります。作図をすれば，個数は求められます。しかし，「めんどうだよ」「もっと簡単にできる方法あるよ」「計算したら」と声が続きます。

少しずつ，解決策が見えてきました。子どもたちが最も「分かりやすい」と考えたのが，正五角形の２辺を延長して二等辺三角形を作り出す方法でした。底辺部分にできる角度は，正五角形の内角は１つ１０８°なので，１８０-１０８で７２°だと分かります。この情報が見えると，一気に理解が広がります。

三角形の内角の和は１８０°。そこから底辺部分の２つの角度７２°を引くと，残りが３６°となります。正五角形の輪が完成すると，そこに付随する二等辺三角形も同じ数で輪が完成します。つまり３６０°の角度がそこに見えます。従って，３６０÷３６は１０なので，正五角形は１０個できることが分かります。

補助線を付け加えることで，一気に解決策が見えた時間でした。

出雲の出会いを楽しみに！

 昨日は出雲市で出雲駅伝が開催されました。

今日は出雲市内の小学校を訪問します。数年前から継続的に入っている学校です。

全クラスの授業公開があります。さらに私も，出雲の子どもたちと授業を行います。どんな出会いが待っているでしょうか。

円周と直径の関係は本当に３倍？

 円周と直径の長さの関係は本当に３倍なのでしょうか。今回は，自分で直径の長さを自由に決めて，円周の長さを測定することにしました。

子どもたちは３種類の大きさの円を作図します。結果の一部を板書してもらいます。結果は，どの直径でも円周は約３倍でした。

円周率の数値自体は教える部分ですが，このような実体験が大切ですね。

別のクラスでは，数人の子どもが協力して直径１０８ｃｍの円の円周を調べました。円周は３２８ｃｍなので，約３．０４倍となりました。巨大な円でも両者の関係は約３倍であることが見えてきました。

どの駒巻きが長い？

 ３種類の形の駒巻きを提示し，「どの駒巻きが短い回数で糸を巻き取れますか」と尋ねます。

正方形と正三角形は，定規を使えば長さを測定できます。一方，円は曲線なので定規で測定することはできません。

子どもたちは，円周上にひもを置いたり，髪の毛を置いたりして測定しました。また，円を切り取って，定規の上で転がす子どももいました。しかし，その測定結果はバラバラになりました。

そこで，測定方法を統一すれば長さが等しくなるのかを実験することにしました。１つ目の方法を，扇形に織り込んで，その曲線部分を測定し計算する方法です。２つ目の方法は，円を定規の上で転がすやり方です。

その結果，１４～１６ｃｍにデータが集まりました。しかし，ズレ幅はまだあります。

そこで，直径を１０ｃｍに変えて，再度実験を行います。紙も測定しやい厚紙に変えました。すると，多くの子どもの測定結果が３０ｃｍに集中します。結果が揃ってきました。

この情報から，円周の長さが直径の３倍になっていそうだということが見えてきました。この見方を引き出すことがポイントです。

既習を使う

 「角の和は求めよう」

子どもに問いかけます。①は，星形の飛び出した部分の角度の合計を求める問題です。一見すると難しい問題です。しかし，その中に補助線を引いて，三角形アウエだけに注目します。すると，イオの角度がウエの角の下に移動することが分かります。

同様に考えると，➁の角の合計も簡単に求められます。

一方，①の図形の真ん中の弓型の四角形に注目し，その下部（凹部の外角がアウエ）と等しくなること。さらに，三角形イオカのカの横の外角がイオと等しくなること。ここから，アイウエオの角が一直線上に集まることから１８０°とする考え方も生まれてきました。

クラスによって，求め方も様々でした。いずれも，既習の考え方を使えば求めらえることが分かりました！