円周と直径の関係は本当に３倍？

 円周と直径の長さの関係は本当に３倍なのでしょうか。今回は，自分で直径の長さを自由に決めて，円周の長さを測定することにしました。

子どもたちは３種類の大きさの円を作図します。結果の一部を板書してもらいます。結果は，どの直径でも円周は約３倍でした。

円周率の数値自体は教える部分ですが，このような実体験が大切ですね。

別のクラスでは，数人の子どもが協力して直径１０８ｃｍの円の円周を調べました。円周は３２８ｃｍなので，約３．０４倍となりました。巨大な円でも両者の関係は約３倍であることが見えてきました。

どの駒巻きが長い？

 ３種類の形の駒巻きを提示し，「どの駒巻きが短い回数で糸を巻き取れますか」と尋ねます。

正方形と正三角形は，定規を使えば長さを測定できます。一方，円は曲線なので定規で測定することはできません。

子どもたちは，円周上にひもを置いたり，髪の毛を置いたりして測定しました。また，円を切り取って，定規の上で転がす子どももいました。しかし，その測定結果はバラバラになりました。

そこで，測定方法を統一すれば長さが等しくなるのかを実験することにしました。１つ目の方法を，扇形に織り込んで，その曲線部分を測定し計算する方法です。２つ目の方法は，円を定規の上で転がすやり方です。

その結果，１４～１６ｃｍにデータが集まりました。しかし，ズレ幅はまだあります。

そこで，直径を１０ｃｍに変えて，再度実験を行います。紙も測定しやい厚紙に変えました。すると，多くの子どもの測定結果が３０ｃｍに集中します。結果が揃ってきました。

この情報から，円周の長さが直径の３倍になっていそうだということが見えてきました。この見方を引き出すことがポイントです。

既習を使う

 「角の和は求めよう」

子どもに問いかけます。①は，星形の飛び出した部分の角度の合計を求める問題です。一見すると難しい問題です。しかし，その中に補助線を引いて，三角形アウエだけに注目します。すると，イオの角度がウエの角の下に移動することが分かります。

同様に考えると，➁の角の合計も簡単に求められます。

一方，①の図形の真ん中の弓型の四角形に注目し，その下部（凹部の外角がアウエ）と等しくなること。さらに，三角形イオカのカの横の外角がイオと等しくなること。ここから，アイウエオの角が一直線上に集まることから１８０°とする考え方も生まれてきました。

クラスによって，求め方も様々でした。いずれも，既習の考え方を使えば求めらえることが分かりました！

今月はGAKUTOセミナー新潟が開催！

１０月１７日（土）に新潟でGAKUTOセミナー新潟が開催されます。算数教科書を活用した授業のありかたを考える研修会です。私の師匠・田中博史先生をはじめ，新潟の算数カリスマ・志田先生や筑波大附属小の青山先生，中部大学の樋口先生と，豪華算数人によるセミナーです。どうぞご参加ください！

会の詳細やお申し込みは，以下からお願いします。

「算数教科書を活用した授業づくり」をテーマに、明日から使えるアイデア満載のセミナーですので、ぜひご参加ください。

＜日時＞
2026年10月17日（土）　12時55分～17時05分

＜会場＞
朱鷺メッセ　新潟コンベンションセンター　中会議室
新潟市中央区万代島6番1号
※新潟駅から徒歩約20分
https://www.tokimesse.com/visitor/access/index.html

田中 博史 先生（「授業・人」塾 代表、学校法人国立学園理事）
尾﨑 正彦 先生（国立学園小学校教頭）
青山 尚司 先生（筑波大学附属小学校教諭）
志田 倫明 先生（新潟市立上所小学校教諭）
樋口 万太郎 先生（中部大学准教授）

＜プログラム＞
12時30分～　　　　　　受付開始
12時55分～　　　　　　オープニング
13時00分～14時10分 　【講演】　尾﨑 正彦 先生
14時10分～14時20分　   休憩
14時20分～15時20分　【特別企画】 青山 尚司 先生、志田 倫明 先生、樋口 万太郎 先生 
15時20分～15時30分　   休憩
15時30分～17時00分　【講演】　田中 博史 先生
17時00分～17時05分　  クロージング
※内容、スケジュール等は変更する場合がございますので、予めご了承ください。

＜参加費＞
3,500円

＜募集人数＞
100名程度

＜対象者＞
本セミナーは、教員及び教員を目指す学生の方のみご参加できます。
以下、必ずご確認のうえ、チケットをお申し込みください。

申し込みは以下のアドレスからお願いします。

https://www.kokuchpro.com/event/3e02bf271c627ffe386f5eeec2babddc/

時計の文字盤をつないでいくと

 「時計の文字盤をつないでいこう」

このように投げかけ，１時間飛ばし，2時間飛ばしと実験を進めていきます。２時間飛ばしの場面では，「１２÷２で６だから正六角形」という式化する声が生まれてきました。１２÷□をすることで，その商が完成する図形の辺や角の数になるという考えです。２時間飛ばしは，子どもたちの予想通りの結果になりました。

その後も，計算でできる多角形を予想してから実験を行います。３時間・４時間飛ばしまでは順調です。

ところが，５時間飛ばしになった場面で「無理」「小数だからできない」「１２÷５＝２．４で小数になる。２．４角形はない」と，声が続きます。さらに，次の声があがります。

「１時間飛ばしから順に，正十二角形，正六角形，正方形，正三角形となった。正三角形よりも小さい図形はないから，もう無理」

「二角形とかないもんね」

これまでに実験してきたデータをもとに，その先の図形が作図できないことを帰納的に説明してきた声です。子どもたちも，この声に共感しています。

本当に無理なのか，実験を進めます。しばらくすると，「できた」と声があがります。完成したのは，星形です。正多角形ではありませんが，辺の長さが等しい二十四角形です。

その後，６時間飛ばしを実験します。これはイメージ化が簡単でした。単純な直線が１本だけできました。子どもたちは，この先の７時間飛ばし以上はできないだろうと考えました。「でも，できるかも・・・」という声もあがります。

そこで，実感を行います。結果は，５時間飛ばしと同じ二十四角形が完成しました。この結果から，新たな気づきが生まれます。

「たすと１２になる」

「７+５で１２」

「５時間飛ばしは，（時計回りだと）５時になる。７時間飛ばしは，（時計と）反対回りだと５時になる。同じことをしているから，同じ図形ができる」

７時間飛ばし以降の図形を見つけるための１２のきまりと，それが生まれてくる理由を演繹的に探る声が生まれてきました。

正多角形の作図はできる？

 「正□角形を作図しよう」

このように投げかけます。正三角形，正方形，正五角形，正八角形，正六角形と順に作図します。その都度，内角とそこに接する外角の角度を確認していきました。

６番目に提示した□の中の数値は，２．５です。小数値の図形は作図できるのかを問いました。多くの子どもは，１本目の辺は作図ができますが，そこで手が止まってしまいます。

そこで，「なにを知りたい？」と尋ねます。子どもからは「角」「１本目の辺の右か左の角度」と声があがります。これは全員が納得です。しかし，その角度が分かりません。

そこで生まれてきたのが，外角に着目するアイディアです。

「正三角形なら，１つの内角と外角を合わせると１８０°になる」

「他の場所も同じで１８０°。外角の和は３６０°になっている」

「正方形も外角の和は３６０°」

「正五角形も外角の和は３６０°」

ここまでは，多角形の外角の和は辺の数が変わっても一定になることを帰納的に発見したプロセスです。この発見が，次の動きにつながります。

「だから，正２．５角形の外角の和も３６０°になる」

「だから，正三角形なら外角１つ分の大きさは，３６０÷３で１２０°。正方形なら３６０÷４で９０°」

「正２．５角形なら，３６０÷２．５が１４４°。これが外角の大きさ。だから，その隣の内角は１８０－１４４で３６°」

「正２．５角形は，辺を引いたら３６°の角で，（その次の）線をつなげていけばいいんだ」

それまでに取り上げた正三角形・正方形・正五角形のデータを使って，正２．５角形の内角の和を求めることができました。計算を行うことで，内角を求めていく考えです。筋道立てて情報を活用する姿が見えてきました。この角度の情報をもとにして，作図を再開します。

しばらくすると「星ができた」と声があがります。完成した図形はきれいな星型です。辺の本数は１０本です。すべて等しい長さです。そこで，「これって正十角形なの？」と尋ねます。子どもからは「角の大きさが違うからダメだよ」と声があがります。

正２．５角形を作図しようとスタートしましたが，完成したのは星形の十角形となりました。

きれいな形？（正多角形）

 「なにが見えるかな？」

このように言って，テレビに図形を提示します。一瞬の提示です。そのため，子どもの認識は「丸」「八角形」「六角形」などズレが生まれました。

「もう一度見たい」の声が生まれてきたので，再度，図形を提示します。ところが，「変わってた」「さっきと違う」と声があがります。さっきは「きれいな形だった」というのです。そこで，「きれいな形」の意味を問います。

「辺の長さがすべて同じ」

「角の大きさがすべて同じ」

この条件を満たす図形が，「きれいな形」だと考えています。そこで，最初に提示した図形がきれいな形なのかを，調べていきます。

結果は，辺の長さも角の大きさも等しいことが分かりました。このような図形を正多角形（正八角形）ということを教えていきます。

その後，「これは正多角形かな？」と言って，六角形，九角形を提示します。九角形の図形には，中心も対角線も記入されていませんでした。それまでの八角形・六角形には対角線を記入されていたのです。

すると「奇数だから無理だ」という声が聞こえてきます。対角線が消えた図形を目にしたことで，子どもたちは急に不安になったようです。

ところが，その声に対して「あれとあれを調べれば分かるよ」という声が聞こえてきます。つまり辺の長さと角の大きさを調べたら分かるという声です。そこで，その２つを調べていきます。結果は，いずれも等しいことが分かります。これも正九角形であることが見えてきました。