今月はGAKUTOセミナー新潟が開催！

１０月１７日（土）に新潟でGAKUTOセミナー新潟が開催されます。算数教科書を活用した授業のありかたを考える研修会です。私の師匠・田中博史先生をはじめ，新潟の算数カリスマ・志田先生や筑波大附属小の青山先生，中部大学の樋口先生と，豪華算数人によるセミナーです。どうぞご参加ください！

会の詳細やお申し込みは，以下からお願いします。

「算数教科書を活用した授業づくり」をテーマに、明日から使えるアイデア満載のセミナーですので、ぜひご参加ください。

＜日時＞
2026年10月17日（土）　12時55分～17時05分

＜会場＞
朱鷺メッセ　新潟コンベンションセンター　中会議室
新潟市中央区万代島6番1号
※新潟駅から徒歩約20分
https://www.tokimesse.com/visitor/access/index.html

田中 博史 先生（「授業・人」塾 代表、学校法人国立学園理事）
尾﨑 正彦 先生（国立学園小学校教頭）
青山 尚司 先生（筑波大学附属小学校教諭）
志田 倫明 先生（新潟市立上所小学校教諭）
樋口 万太郎 先生（中部大学准教授）

＜プログラム＞
12時30分～　　　　　　受付開始
12時55分～　　　　　　オープニング
13時00分～14時10分 　【講演】　尾﨑 正彦 先生
14時10分～14時20分　   休憩
14時20分～15時20分　【特別企画】 青山 尚司 先生、志田 倫明 先生、樋口 万太郎 先生 
15時20分～15時30分　   休憩
15時30分～17時00分　【講演】　田中 博史 先生
17時00分～17時05分　  クロージング
※内容、スケジュール等は変更する場合がございますので、予めご了承ください。

＜参加費＞
3,500円

＜募集人数＞
100名程度

＜対象者＞
本セミナーは、教員及び教員を目指す学生の方のみご参加できます。
以下、必ずご確認のうえ、チケットをお申し込みください。

申し込みは以下のアドレスからお願いします。

https://www.kokuchpro.com/event/3e02bf271c627ffe386f5eeec2babddc/

時計の文字盤をつないでいくと

 「時計の文字盤をつないでいこう」

このように投げかけ，１時間飛ばし，2時間飛ばしと実験を進めていきます。２時間飛ばしの場面では，「１２÷２で６だから正六角形」という式化する声が生まれてきました。１２÷□をすることで，その商が完成する図形の辺や角の数になるという考えです。２時間飛ばしは，子どもたちの予想通りの結果になりました。

その後も，計算でできる多角形を予想してから実験を行います。３時間・４時間飛ばしまでは順調です。

ところが，５時間飛ばしになった場面で「無理」「小数だからできない」「１２÷５＝２．４で小数になる。２．４角形はない」と，声が続きます。さらに，次の声があがります。

「１時間飛ばしから順に，正十二角形，正六角形，正方形，正三角形となった。正三角形よりも小さい図形はないから，もう無理」

「二角形とかないもんね」

これまでに実験してきたデータをもとに，その先の図形が作図できないことを帰納的に説明してきた声です。子どもたちも，この声に共感しています。

本当に無理なのか，実験を進めます。しばらくすると，「できた」と声があがります。完成したのは，星形です。正多角形ではありませんが，辺の長さが等しい二十四角形です。

その後，６時間飛ばしを実験します。これはイメージ化が簡単でした。単純な直線が１本だけできました。子どもたちは，この先の７時間飛ばし以上はできないだろうと考えました。「でも，できるかも・・・」という声もあがります。

そこで，実感を行います。結果は，５時間飛ばしと同じ二十四角形が完成しました。この結果から，新たな気づきが生まれます。

「たすと１２になる」

「７+５で１２」

「５時間飛ばしは，（時計回りだと）５時になる。７時間飛ばしは，（時計と）反対回りだと５時になる。同じことをしているから，同じ図形ができる」

７時間飛ばし以降の図形を見つけるための１２のきまりと，それが生まれてくる理由を演繹的に探る声が生まれてきました。

正多角形の作図はできる？

 「正□角形を作図しよう」

このように投げかけます。正三角形，正方形，正五角形，正八角形，正六角形と順に作図します。その都度，内角とそこに接する外角の角度を確認していきました。

６番目に提示した□の中の数値は，２．５です。小数値の図形は作図できるのかを問いました。多くの子どもは，１本目の辺は作図ができますが，そこで手が止まってしまいます。

そこで，「なにを知りたい？」と尋ねます。子どもからは「角」「１本目の辺の右か左の角度」と声があがります。これは全員が納得です。しかし，その角度が分かりません。

そこで生まれてきたのが，外角に着目するアイディアです。

「正三角形なら，１つの内角と外角を合わせると１８０°になる」

「他の場所も同じで１８０°。外角の和は３６０°になっている」

「正方形も外角の和は３６０°」

「正五角形も外角の和は３６０°」

ここまでは，多角形の外角の和は辺の数が変わっても一定になることを帰納的に発見したプロセスです。この発見が，次の動きにつながります。

「だから，正２．５角形の外角の和も３６０°になる」

「だから，正三角形なら外角１つ分の大きさは，３６０÷３で１２０°。正方形なら３６０÷４で９０°」

「正２．５角形なら，３６０÷２．５が１４４°。これが外角の大きさ。だから，その隣の内角は１８０－１４４で３６°」

「正２．５角形は，辺を引いたら３６°の角で，（その次の）線をつなげていけばいいんだ」

それまでに取り上げた正三角形・正方形・正五角形のデータを使って，正２．５角形の内角の和を求めることができました。計算を行うことで，内角を求めていく考えです。筋道立てて情報を活用する姿が見えてきました。この角度の情報をもとにして，作図を再開します。

しばらくすると「星ができた」と声があがります。完成した図形はきれいな星型です。辺の本数は１０本です。すべて等しい長さです。そこで，「これって正十角形なの？」と尋ねます。子どもからは「角の大きさが違うからダメだよ」と声があがります。

正２．５角形を作図しようとスタートしましたが，完成したのは星形の十角形となりました。

きれいな形？（正多角形）

 「なにが見えるかな？」

このように言って，テレビに図形を提示します。一瞬の提示です。そのため，子どもの認識は「丸」「八角形」「六角形」などズレが生まれました。

「もう一度見たい」の声が生まれてきたので，再度，図形を提示します。ところが，「変わってた」「さっきと違う」と声があがります。さっきは「きれいな形だった」というのです。そこで，「きれいな形」の意味を問います。

「辺の長さがすべて同じ」

「角の大きさがすべて同じ」

この条件を満たす図形が，「きれいな形」だと考えています。そこで，最初に提示した図形がきれいな形なのかを，調べていきます。

結果は，辺の長さも角の大きさも等しいことが分かりました。このような図形を正多角形（正八角形）ということを教えていきます。

その後，「これは正多角形かな？」と言って，六角形，九角形を提示します。九角形の図形には，中心も対角線も記入されていませんでした。それまでの八角形・六角形には対角線を記入されていたのです。

すると「奇数だから無理だ」という声が聞こえてきます。対角線が消えた図形を目にしたことで，子どもたちは急に不安になったようです。

ところが，その声に対して「あれとあれを調べれば分かるよ」という声が聞こえてきます。つまり辺の長さと角の大きさを調べたら分かるという声です。そこで，その２つを調べていきます。結果は，いずれも等しいことが分かります。これも正九角形であることが見えてきました。

ブーメラン型四角形は敷き詰められる？

 敷き詰めの問題に取り組みました。

先ずは三角形を敷き詰めます。「しきつめ」の意味を理解するのに少し時間がかかりました。

その後，三角形を敷き詰めていきます。これはできました。

次に，ブーメラン型の四角形を敷き詰めます。「これもできるよ」「隙間に入れていけばいいんだよ」と声があがります。楽勝ムードで始まります。

ところが，図形を並べ始めると，うまくいかない子どもが続出します。

「無理！」

「１００%できない」

悲しい声が生まれてきます。ところがしばらくすると，うまくできた子どもが現れてきます。

最後は，うまく敷き詰めることができました。そこで，「敷き詰められたポイントはあるの？」と尋ねてみます。

「真ん中に四角形の４つの角が集まるようにするとできる」

「ア，イ，ウ，エの４つの角が集まる」

「だって，四角形の内角の和は３６０°だからできるんだよ」

四角形の内角の和と敷き詰めができる関係に気づくことができました。

多角形の内角の和

 「□角形の内角の和を求めよう」

このように投げかけます。三角形が１８０°，四角形が３６０°になることは学習済です。では，五角形は何度になるのでしょうか。子どもからは「５４０°」と声が聞こえてきました。

「だって，三角形から四角形になるとき１８０°増えた。だから，次も１８０°増える」

「角が１つ増えると角度が１８０°増えるんだよ」

「なんで？」

角度が１８０°ずつ増えそうだというきまりに気づく声が生まれてきました。これは多くの子どもも納得しています。ところが，そのきまりがなぜ成立するのかが分からないのです。このような疑問の声が自然にあがってくるのも，いいことですね。

五角形に１本の対角線を引く子どもが現れました。そこで，これをヒントに理由を考えていくことにします。

「三角形と四角形に分けられた」

「三角形が１８０°，四角形が３６０°。だから１８０°増える」

この考え方を使えば，角度が１８０°増えることが演繹的に見えてきます。

一方，五角形を３つの三角形に分割して，１８０×３で求める考えも生まれてきました。

これらを活用していけば，どんな多角形の角度も計算で求めていくことができます。

三角形の内角の和は１８０°？

 「三角形の内角の和は，何度になるの？」

前時の学習での残された疑問でした。そこで，ノートに自由に３つの三角形を作図します。今回はハサミで切る作業はありません。直線の辺は温存されています。ところが，角度の合計は同じにはなりませんでした。

そこで生まれてきたのが，正方形や長方形の内角の和３６０°を使うアイディアでした。いずれも対角線で切ってできる三角形は，いずれも合同です。従って，３６０÷２で１８０°になります。

この情報を基に，一般三角形の内角の和が１８０°になる演繹的な見方が生まれてきました。

三角形の上の頂点から底辺に向かって垂線を引きます。そこにできるのは直角三角形が２つです。その内角の和が１８０°になることは，証明されました。そこから一般三角形も１８０°になることが見えてきました。

帰納的な証明ではうまくできなかった内角の和の問題ですが，演繹的にアプローチすることでその解決策が見えてきました。