きまりはないの？？？

「正方形を□個くっつけた形を作ります」

２個つなげた形を作図します。自然と「１種類だ」と数値化の声があがります。それと同時に，「似た勉強したぞ」「No.89でやった」などの声が聞こえてきます。種類数を式化できるのではないかという思いの表出です。

そこで，３個つなげた場合を考えます。結果は３種類。ここから「個数−１」というきまりの声があがります。

そこで実験開始です。結果は５種類です。「個数−１」は当てはまりませんでした。しかし，ここであらたなきまりの声があがります。

「種類数が１から２，２から５と+１，+３となっている」

「だから次は，+５だから１０種類」

子どもたちの多くは自信満々です。そこで，実験開始です。結果は，１２種類。またまた子どもからうまれたきまりは当てはまりませんでんした。

こんなことを繰り返しながら，６個バージョンへと進んでいきました。

 

お向かいさんは１８０度？

 円の中に四角形を作図します。底辺の左は９０度，右は７０度で四角形を作図します。完成した図の上にできる角度は，どの子どもも１１０度と９０度になりました。作図した円の大きさは，四角形の形は異なりますが，角度は全て同じ組み合わせになりました。

「なんで？」

疑問の声があがります。「四角形は角度が３６０度になるからだよ」と声があがります。しかし，これは正確な理由ではありません。すると今度は，次の声があがります。

「お向かいさんの角度の合計は１８０度になっている」

「本当だ」

「なんで？」

お向かいさんが１８０度になるのも，どの子どもたちの図形も一緒でした。この理由が不思議です。そこで，この理由を考えていきます。

しかし，これは難問でした。少しずつヒントを出しながら乗り越えていきました。

「中心から頂点に線を引くと，二等辺三角形ができる」

「だから，そこの角度は同じになる」

「それぞれの角度に印をつけると，合計は３６０度」

「同じ角度が２セットずつあるから，１セットは１８０度」

「そうか，お向かいさんの角度も同じセットがある」

時間をかけて，これらの言葉を共有していきました。

最後は，底辺の両端の角度を変えても１８０度になるのかを実験しました。

今日は関西算数セミナー！

今日は大阪市で関西算数セミナーが開催されます。

関西地区の若手・ベテランの先生方が参加し，授業実践をもとにした提案が行われます。和歌山県田辺市の先生方の提案されます！

会場は大阪市の阿倍野学習センターです。詳細・申し込みは以下からどうぞ！

 https://www.kokuchpro.com/event/bc6458c418863b6b05ee332f4655733a/

２辺増えている！

「周りの長さは何㎝ですか？」

このように投げかけます。正方形を３個横につなげた形が基本です。この場合は，８㎝です。

次に，この長方形の形を変えずに２個つなげた図形を考えます。できた図形は，全部で６種類です。１つずつ，周りの長さを確認します。横長長方形は１４㎝です。次に，上下にずれて繋がった図形を考えます。このパターンは，１４㎝と１２㎝の２種類の長さがありました。

すると，「２辺増えている」と声があがります。周りの長さが減っているのに，「増えている」という声が聞こえてきました。この声の意味を読解します。

「つながっている辺がBは２ヶ所，Aは１ヶ所」

「１ヶ所増えただけだよ？」

「上下だよ」

「上の辺と下の辺で２ヶ所」

２つの長方形がつながる辺を拡大してみると，そこは２本の辺がくっついていることが分かりす。そこから「２辺くっつく場所が増えた」と考えたのです。

この見方を使うと，周りの辺の長さの変化をくっついている辺の数を考えることで見えてきます。２㎝ずつ辺の長さが減っていくことも見えてきました。

その後，長方形を３つつなげた場合を考えます。こちらは一体何種類の図形ができるのかで，子どもたちが悩みました。授業時間では４０種類を見つけました！

 

塵も積もれば山となる

 「丸子さんは昨年0.5haの畑を耕しました。今年はさらにその半分の0.25haを耕しました。来年はさらにその半分の広さの0.125ha，再来年はさらにその半分の広さというように，毎年必ず前年の半分ずつさらに広げて耕して畑を広げていきます。丸子さんの畑は，何十年も先にはどのくらいの広さになっていますか」

この問題に出会った子どもから聞こえてきたのは，「大きくなる」「小さくなる」の真逆の声でした。そこで，この声の意味を読解します。

「増える面積はだんだん小さくなる」

「でも，全部の面積は増えていく」

面積の増え方は「小さくなる」けれど，合計の面積は「大きくなる」というのが子どもの思いでした。では，子どもたちは面積の合計値をどのように考えているのでしょうか？

頭の中のイメージをノートに表現してもらいました。その中の典型的な例が，板書中央にある図です。

子どもたちが分かりやすいと考えたのが右端の図でした。その理由を次のように説明しました。

「これは分かりやすい」

「パズルみたいだ」

「隙間に入っていくから分かりやすい」

「無限ループになるね」

「千年後とかに１haを越えるね」

「えー，超えないよ」

合計の面積が１haを超えるのか超えないのか，ズレが生まれてきました。

「増える面積は半分になって小さくなっていくから，１haにはならない」

「どんどん小さくなって，点みたいになるから１haには届かない」

「隙間にどんどん面積が増えていくけど，小さく増えるだけで１haにはならない」

「でもさあ，塵も積もれば山となるって言うから，いつかは１haを超えるよ」

「たしかに・・・」

「塵も積もれば山となる」の諺の登場で，１haを超えないと考えていた子どもの考えに揺れが生まれてきました。ところがここで，新たな声が生まれてきます。

「反比例に似ているよ。反比例のグラフは，０にどんどん近づくけど，０にはくっつかない。これも，１haには近づくけど，１haにはならない」

「残った隙間を見てください。隙間が半分埋まって，そのまた半分と埋まっていく。でも，いつまでたっても隙間は必ず残る」

「そうか。分かりやすい。だから隙間が残るから１haにはならない」

反比例のグラフとの関連付けと，増える面積ではなく残る隙間に視点を置き換えることで，１haを越えることがないことが見えてきました。しかし，「調べてみたい」と声があがります。最後は，ノートに畑を耕す絵を描いて実験します。どれだけ面積を半分ずつ増やしても１haを超えないことが見えてきました。

「塵も積もれば山となる」で盛り上がった１時間でした。

歯車は反比例？

 ２つの歯車が噛み合った場合の回転数を考える問題に取り組みました。問題に出会った当初は，比例の問題・反比例の問題とも子どもたちは全く意識をしていませんでした。

問題に取り組む中から，「歯数が増えると，回転数が減る」ことに気づいた子どもから，「反比例っぽい！」と声があがってきました。

難しい問題場面でしたが，歯数と回転数の関係を少しずつ見出していくことができました。

反比例のグラフはどうなるの？

 前回の反比例の学習で，子どもたちから生まれてきた疑問が，「反比例のグラフはどうなるの」でした。今回は，その疑問にチャレンジします。

「面積２４㎠の長方形の横x㎝と縦y㎝は反比例しますか」

このように投げかけ，データを整理します。その後，グラフ化します。その前に，子どもたちに予想をさせました。

「絶対に下がるグラフ」

「上がって下がる」

「上がるのと下がるのと２本になる」

様々な予想が生まれます。そこで，実際に作図します。結果は，カーブを描く下り坂になります。問題は，x軸とy軸まで線を伸ばしてもよいのかでした。

「０×２４という式はないから，xが０の時の点は存在しない」

「x×y＝２４の式になるから，xが０になるとあり得ない式になる」

「0.0001㎝や0.00001㎝はあっても，０㎝はない」

究極の世界を具体的にイメージ化することで，０に点は存在しないことが見えてきました。