正多角形の作図はできる？

 「正□角形を作図しよう」

このように投げかけます。正三角形，正方形，正五角形，正八角形，正六角形と順に作図します。その都度，内角とそこに接する外角の角度を確認していきました。

６番目に提示した□の中の数値は，２．５です。小数値の図形は作図できるのかを問いました。多くの子どもは，１本目の辺は作図ができますが，そこで手が止まってしまいます。

そこで，「なにを知りたい？」と尋ねます。子どもからは「角」「１本目の辺の右か左の角度」と声があがります。これは全員が納得です。しかし，その角度が分かりません。

そこで生まれてきたのが，外角に着目するアイディアです。

「正三角形なら，１つの内角と外角を合わせると１８０°になる」

「他の場所も同じで１８０°。外角の和は３６０°になっている」

「正方形も外角の和は３６０°」

「正五角形も外角の和は３６０°」

ここまでは，多角形の外角の和は辺の数が変わっても一定になることを帰納的に発見したプロセスです。この発見が，次の動きにつながります。

「だから，正２．５角形の外角の和も３６０°になる」

「だから，正三角形なら外角１つ分の大きさは，３６０÷３で１２０°。正方形なら３６０÷４で９０°」

「正２．５角形なら，３６０÷２．５が１４４°。これが外角の大きさ。だから，その隣の内角は１８０－１４４で３６°」

「正２．５角形は，辺を引いたら３６°の角で，（その次の）線をつなげていけばいいんだ」

それまでに取り上げた正三角形・正方形・正五角形のデータを使って，正２．５角形の内角の和を求めることができました。計算を行うことで，内角を求めていく考えです。筋道立てて情報を活用する姿が見えてきました。この角度の情報をもとにして，作図を再開します。

しばらくすると「星ができた」と声があがります。完成した図形はきれいな星型です。辺の本数は１０本です。すべて等しい長さです。そこで，「これって正十角形なの？」と尋ねます。子どもからは「角の大きさが違うからダメだよ」と声があがります。

正２．５角形を作図しようとスタートしましたが，完成したのは星形の十角形となりました。

きれいな形？（正多角形）

 「なにが見えるかな？」

このように言って，テレビに図形を提示します。一瞬の提示です。そのため，子どもの認識は「丸」「八角形」「六角形」などズレが生まれました。

「もう一度見たい」の声が生まれてきたので，再度，図形を提示します。ところが，「変わってた」「さっきと違う」と声があがります。さっきは「きれいな形だった」というのです。そこで，「きれいな形」の意味を問います。

「辺の長さがすべて同じ」

「角の大きさがすべて同じ」

この条件を満たす図形が，「きれいな形」だと考えています。そこで，最初に提示した図形がきれいな形なのかを，調べていきます。

結果は，辺の長さも角の大きさも等しいことが分かりました。このような図形を正多角形（正八角形）ということを教えていきます。

その後，「これは正多角形かな？」と言って，六角形，九角形を提示します。九角形の図形には，中心も対角線も記入されていませんでした。それまでの八角形・六角形には対角線を記入されていたのです。

すると「奇数だから無理だ」という声が聞こえてきます。対角線が消えた図形を目にしたことで，子どもたちは急に不安になったようです。

ところが，その声に対して「あれとあれを調べれば分かるよ」という声が聞こえてきます。つまり辺の長さと角の大きさを調べたら分かるという声です。そこで，その２つを調べていきます。結果は，いずれも等しいことが分かります。これも正九角形であることが見えてきました。

ブーメラン型四角形は敷き詰められる？

 敷き詰めの問題に取り組みました。

先ずは三角形を敷き詰めます。「しきつめ」の意味を理解するのに少し時間がかかりました。

その後，三角形を敷き詰めていきます。これはできました。

次に，ブーメラン型の四角形を敷き詰めます。「これもできるよ」「隙間に入れていけばいいんだよ」と声があがります。楽勝ムードで始まります。

ところが，図形を並べ始めると，うまくいかない子どもが続出します。

「無理！」

「１００%できない」

悲しい声が生まれてきます。ところがしばらくすると，うまくできた子どもが現れてきます。

最後は，うまく敷き詰めることができました。そこで，「敷き詰められたポイントはあるの？」と尋ねてみます。

「真ん中に四角形の４つの角が集まるようにするとできる」

「ア，イ，ウ，エの４つの角が集まる」

「だって，四角形の内角の和は３６０°だからできるんだよ」

四角形の内角の和と敷き詰めができる関係に気づくことができました。

多角形の内角の和

 「□角形の内角の和を求めよう」

このように投げかけます。三角形が１８０°，四角形が３６０°になることは学習済です。では，五角形は何度になるのでしょうか。子どもからは「５４０°」と声が聞こえてきました。

「だって，三角形から四角形になるとき１８０°増えた。だから，次も１８０°増える」

「角が１つ増えると角度が１８０°増えるんだよ」

「なんで？」

角度が１８０°ずつ増えそうだというきまりに気づく声が生まれてきました。これは多くの子どもも納得しています。ところが，そのきまりがなぜ成立するのかが分からないのです。このような疑問の声が自然にあがってくるのも，いいことですね。

五角形に１本の対角線を引く子どもが現れました。そこで，これをヒントに理由を考えていくことにします。

「三角形と四角形に分けられた」

「三角形が１８０°，四角形が３６０°。だから１８０°増える」

この考え方を使えば，角度が１８０°増えることが演繹的に見えてきます。

一方，五角形を３つの三角形に分割して，１８０×３で求める考えも生まれてきました。

これらを活用していけば，どんな多角形の角度も計算で求めていくことができます。

三角形の内角の和は１８０°？

 「三角形の内角の和は，何度になるの？」

前時の学習での残された疑問でした。そこで，ノートに自由に３つの三角形を作図します。今回はハサミで切る作業はありません。直線の辺は温存されています。ところが，角度の合計は同じにはなりませんでした。

そこで生まれてきたのが，正方形や長方形の内角の和３６０°を使うアイディアでした。いずれも対角線で切ってできる三角形は，いずれも合同です。従って，３６０÷２で１８０°になります。

この情報を基に，一般三角形の内角の和が１８０°になる演繹的な見方が生まれてきました。

三角形の上の頂点から底辺に向かって垂線を引きます。そこにできるのは直角三角形が２つです。その内角の和が１８０°になることは，証明されました。そこから一般三角形も１８０°になることが見えてきました。

帰納的な証明ではうまくできなかった内角の和の問題ですが，演繹的にアプローチすることでその解決策が見えてきました。

できるだけ大きな三角形

 「できるだけ大きな三角形を作ろう」

このように投げかけ，２人１組で画用紙の上で消しゴムとばしゲームをします。三角形を囲めるまで続けます。

ゲームを続けると，いくつかの三角形が完成します。それらの中で「一番大きいと思う三角形を切り取りましょう」と投げかけます。

三角形を切り取った後で，「できるだけ大きなというのは，角度の合計のことだよ」と説明します。すると「全部１８０°だよ」と声があがります。そこで，本当に「全部」１８０°なのかを実験します。

結果は，１８０°が多くありましたが，１７８°，１８４°，１７９°，１８３°などもありました。１８０°以外の角度も１/３弱ありました。

１８０°だと信じている子どもからは，「切るときにずれた」「分度器の目盛りを読むときにずれた」などの声があがります。果たして，本当はどうなのでしょうか。これは次回に学習します。

正方形を合同図形に４分割

 「４つの合同な図形に分割しよう」

このように投げかけ，正方形を分割させていきました。当初は，「２通りしかない」と考える子どもたちがたくさんいました。十字架分割と×分割がすぐにイメージできるからです。ところが，しばらくすると，「何個もある」「無限ある」と声がします。さらに，直線での分割ではなく，ジグザクの線や曲線で分割するアイディアも生まれてきました。この発想が生まれると，分割パターン数は一気に広がります。

黒板に描かれたのは，ユニークな分割のアイディアです。その後，色画用紙に実際に作図をします。ハサミで切って重ね合わせます。これで重なれば，複雑な切り方の図形が合同であるかが確かめられます。

柔軟な発想力が，この学習では大切ですね。