１より小さいと小さい

「式を完成させて，答えが大きい方が勝ちゲームをしよう」

このように投げかけます。3/4以降の演算と数字をカードから引いて，式を完成させます。

最初のチームが，3/4×7/8になるカードを引きました。するとこの式を見た子どもから，

「１より小さいと小さい」

と声があがります。この声の意味を読解します。

「１より小さい数をかけると，答えは小さくなる」

演算とそれに対応する数字が１よりも大きいか小さいかによって，答えの大きさが変わるという説明です。この場面での読解が，その後の「÷」の演算が生まれた時にも生きてきました。

合計１２回のゲームを通して，分数のわり算のわられる数とわる数とその商の大きさの関係を見いだした１時間でした。

 

あまりが・・・

次の問題を子どもたちに提示します。

「２と1/5Ｌの牛乳があります。2/5Ｌ入りの瓶に分けます。瓶は何本できて何Ｌあまりますか」

式が２と1/5÷2/5になることはすぐに分かります。計算すると，答えは５と1/2となります。ここからほとんどの子どもたちは，答えを「５本になって1/2Ｌあまる」としました。この答えに違和感を抱く子どもはいませんでした。

一方，「あまりますか」という問題文から，計算を分母同士・分子同士でわり算する考えが生まれてきました。分母は５÷５で１となります。分子は１１÷２なので５あまり１となります。この結果から，答えは「５本できて１Ｌあまる」としました。

すると，この結果を見た子どもから声があがります。

「あまりの１Ｌの中に2/5Ｌがまだある」

「図で描くと，2/5Ｌが２つあるよ」

「だから答えは７本とれるんじゃない」

「そしてあまりは1/5Ｌになる」

あまりの大きさに目を付けた鋭い指摘です。すると，この結果を見た子どもから，さらに声があがります。

「それなら，左の式のあまり1/2Ｌの中にも2/5Ｌがある」

「図を描いても，1/2Ｌの中に2/5Ｌが１つ分ある」

「通分したら，5/10Ｌの中に4/10Ｌが１つ分ある」

「だから答えは６本とれて1/10Ｌあまるだ」

右側の式から生まれが疑問が，左側の式にも当てはまることを子どもたちが指摘していきました。よい学びの連鎖です。

しかし，生まれてきた式は２種類になりました。この答えは正しいのでしょうか？

そこで，確かめ算を行います。結果は，いずれも正しくないことが分かりました。では，一体答えはどうなるのでしょうか。

計算結果は５と1/2となりました。このことから，牛乳瓶５本が取れることは間違いありません。問題はあまりに該当する1/2の部分です。多くの子どもたちは，1/2Ｌと考えましたが，それでは正しくはないようです。

すると子どもから，次の声があがります。

「1/2というのは，2/5の1/2なんだよ」

「？？？」

「そーいうことか！」

「図で描くと，2/5Ｌ入るコップがあって，その中の1/2だけ牛乳が入るということ」

「だから1/5Ｌあまるんだ」

答えの1/2の意味を捉え直す声が生まれてきました。この場面はていねいに展開しました。理解に時間がかかるからです。

この考え方を確かめ算で確認すると，正しい答えであることが分かりました。

そこでもう一度，最初の子どもたちの誤答に戻ります。

「計算の答えの５と1/2から，みんなは５本と1/2Ｌと考えたね。なにがよくなかったのでしょうか」

子どもたちが考えます。

「答えを５本と1/2Ｌと別の単位にしてしまったら」

「５と1/2は同じ数だから，まとめて本と考えるのに，別々にしてしまったからだめだった」

1/2は牛乳の量ではなく，2/5Ｌの中の割合を示す1/2だったのです。この意味を時間をかけて読解していきました。

 

倍分から逆

前回の学習では，分数のわり算は倍分を使えば，どんな計算もできそうだということが見えてきました。しかし，まだ実験数が不十分です。そこで，3/4÷2/5になる問題場面で実験を行います。

分母分子をそれぞれ１０倍の倍分することで，2/5で割り切ることができます。答えは15/8Ｌと計算はできます。しかし，その真偽は図で確認を行わないと分かりません。そこで，図で確認します。結果は，図の中に15/8があることは見えました。この答えを導くために，小さな長方形の数を計算で求めました。分母は４×２，分子は３×５で求められます。

すると子どもたちが，「逆数が見える」と気づきます。分母分子の総数を求めるかけ算のかける数の部分に÷2/5の逆数である×5/2が見えるというのです。また，この図が÷2/5に見えると同時に，かけ算の図のように×5/2の図にも見えるという気付きも生まれてきました。

すると今度は，「式の中にも逆数が見える」と声があがります。倍分を行った分子の計算は，３×１０÷２でした。式後半の１０÷２を先に計算すると３×５になります。分母の４×１０÷５の後半１０÷５を先に計算すると４×２になります。するとこの式の部分にも逆数のかけ算が見えてきます。

分数同士のわり算を倍分を使って計算を進める中から，逆数をかける意味や形式を見つけていくとができました。

今やったやり方について・・・

次の問題を提示します。

「1/2分で4/6Lのジュースを作るマシンがあります。１分では何Lのジュースができますか」

式は４ます関係表から見えてきます。4/6÷1/2です。しかし、この計算は未習です。そこで生まれてきたのが、「分数のかけ算みたいにするといい」という声です。

この声の意味を読解します。

「分数のかけ算は、分母と分子をかけたから、今度は分母は分母、分子は分子でわる」

「できるかなあ・・・」

先行学習をしている子どもは「逆数」を使う意識しかありません。このような考えの登場に戸惑っているのです。

これは分数のかけ算から類推した考え方です。子どもらしい素直な考えです。これで計算を行うと、答えは出ます。しかし、この答えが正しいか否かは分かりません。そこで、図で確かめます。

図でも答えが4／3になることが見えてきました。この結果から、分数同士の割り算もかけ算と同じように計算ができそうです。

ところがここで，「でも」という声が聞こえてきます。

「今はいいけど、割れなかったどうするの？」

「例えば、10/6÷3/5だったら割れないよ」

割り切れない数値の場合は、この方法の限界が来るという考えです。具体的な数値も提案されました。

すると、「あまりを出したらいいんじゃない？」と声が上がります。

「３あまり１／１あまり１」

「えー，そんな分数はないよ」

「倍分したらいいよ。№２１の勉強でもやったよ」

倍分を使う計算は，分数÷整数で経験しています。この既習がここで想起されてきました。

そこで，倍分を使って10/6÷3/5を計算します。10/6の分母・分子を１５倍することで，3/5で割れるように式が変身します。

この結果，倍分でも答えが求められそうだということが見えてきました。ところが，「まだ１回しかやってないから，３回やらないと分からない」と声があがります。早急な一般化に警鐘を鳴らす声です。

そこで，3/5÷2/4で実験を行います。このままでは，分母も分子も割れません。

「４倍で倍分したらいいよ」

「なんで４倍？」

「2/4の最小公倍数だからだらよ」

わる数の最小公倍数で倍分すればいいという声です。しかし，本当に最小公倍数でいいのか疑問を抱く子どももいます。

そこで，「最小公倍数はたまたまでしょ？」と投げかけます。

すると，ある女の子の視線が，別の問題を見ていました。彼女を指名します。

「たまたまじゃないよ。さっきの問題も最小公倍数だったよ」

彼女は１つ前の問題を倍分するときにも，わる数を最小公倍数をかけていたことに気付いたのです。このように複数の情報の共通点を見出せることも大切ですね。

さて，最小公倍数で倍分すると，この問題も計算ができました。ここで時間となりましが，ここまでの結果から「最小公倍数で倍分したら，どんな分数も計算できそうだ」ということが見えてきました。しかし，「大きい数になると，最小公倍数も面倒くさそう」という声も生まれてきました。ここは明日の課題となります。

 

京都の小学校を訪問

 今日は京都府南丹市の小学校を訪問しました。全校６学級の小さなが学校です。

全クラスの算数授業を参観しました。どの教室からも，子ども達の素直な声が聞こえてきました。今回の授業訪問では，指導力の向上が著しい若手の先生がいらっしゃいました。これまでの私の訪問での指導や日ごろの勉強の成果が，着実に現れていますね。

やはり教師も常にアップデートが必要ですね。「常にアップデートが必要」あるすごい先生が使われていた言葉です。これはまたどこかの講座で紹介しますね。

分数をかける

 次の問題を提示します。

「あかりさんは１８０ページの本を４日間で読みました。１日目は全体の2/5，２日目は残りの1/3を読み，３日目はその時に残っていたページの5/8を読みました。」

アイテムに掲載されている問題です。先ずは「２日目には何ページ読みましたか」と尋ねます。

半数の子どもは，次の式を書きました。

１８０×2/5×1/3

この気持ちを読解します。

「１日目に2/5読んで，２日目に1/3を読んだからかけ算した」

この式を書いた子どもは納得しています。ところが，「それは違う」と声があがります。

「２日目は残りの1/3を読んだと問題にあるから，１日目の残りのページから考える」

「その残りの1/3になる」

「２日目は基準が違うようになるんだよ」

計算を簡単にしようとして，多くの子どもは一気に「×2/5×1/3」をしたようです。しかし，それでは問題場面に合いません。基準が２日目は異なるからです。その指摘が子どもから生まれてきました。

後半は，「分数÷分数」につながる作図をする問題に取り組みました。0.5分で1/3Ｌの水が入る図を描きます。その後，「１分では何Ｌ入るか図を描こう」と投げかけます。

半数の子どもが，板書のパーの図を描きました。答えは2/3Ｌなのでこれでよさそうです。ところが，「それは違う」と声があがります。

「この図だと，0.5分で2/3Ｌの水という話になる」

「話は１分で2/3Ｌだから図が違う」

分数の面積図はかなりハードルが高い場面です。少しずつ，その見方を育てています。

全国算数授業研究会今年も開催！

全国算数授業研究大会が今年も８月４日（月）～５日（火）に，筑波大附属小学校を会場に開催されます。お申し込みは，以下からどうぞ。詳細は以下の案内をご覧ください。

https://www.kokuchpro.com/event/b1dca1a9e364ad8dc46c1cdee4e5c339/