８の段で見つけたきまり！

算数のかけ算の学習も大詰めです。子どもたちに次の問題を提示します。

「８の段のかけ算の合体かけ算は，本当に４種類なのかな？」

　６の段のかけ算を学習したとき，６×２の答えは，１×２＋５×２の２つの式を合体することでも求められることを発見しました。この合体の式は，他にも２×２＋４×２，３×３＋３×３の合計３種類があります。７の段も合体かけ算で答えを求めると，３種類の式で答えを求めることができます。

　ここまでの結果をもとに，子どもたちは次のように考えました。

「８の段は４種類の合体の式がある」

「２，４，６，８の段の２とびのときに，種類数が増えるんだ」

「１，３，５，７，９の段は，前の段と同じ種類だ」

　この時間は，前述の子どもたちの予想が正しいのかを確かめる学習です。式だけでは合体かけ算のイメージがうまく頭に浮かびません。８個のチョコレートを２色に塗り分けることで，イメージ化を図りました。

　その結果，８の段のかけ算は子どもたちの予想通りに４種類あることが分かりました。予想が当たった子どもたちは自信満々です。

　それと同時に，「おもしろいことがあります」と声があがります。

「上の段のかけられる数が１，２，３，４と１ずつ増えている」

「下の段のかけられる数は，７，６，５，４と１ずつ減っている」

「それって，６の段も同じになっている」

「７の段も同じだよ。すごいね」

 

　子どもたちは８の段で見つけた合体かけ算の秘密が，他の段にも当てはまるのかと場面を拡張して考えていきました。こんな考え方ができる姿も素敵ですね。

繰り返しが遠い？

 ２年生「かけ算」学習です。この時間は７の段のかけ算を作ることから授業がスタートしました。

７×１＝７

７×２＝１４

７×３＝２１

と順に７の段のかけ算の答えを確認していきます。これまで子どもたちは，かけ算は答えの一の位が繰り返すことを発見しています。しかも，一の位に０が登場するところまでが繰り返しの１セット目であることも発見しています。

７×３までの計算が終わったところで，次の声が聞こえてきました。

「一の位が，また繰り返すね」

「でも，０はこないんじゃないかな？」

「７×１０なら答えの一の位に０がくるよ」

子どもたちは，７の段のかけ算は一の位の数字の繰り返しがなかなかこないのではないかと考えたのです。しかし，これは実際に答えを順に確かめていかないとはっきりとしません。そこで，その後の７の段のかけ算の答えを導き出していきます。

７×４＝２８

７×５＝３５

７×６＝４２

７×７＝４９

７×８＝５６

７×９＝６３

かけ算九九の範囲では，とうとう答えの一の位に０はきません。さらにかけ算を続けていきます。

７×１０＝７０

ようやく０の登場です。しかし，本当に答えの一の位が繰り返すのかは，もう少しかけ算を書き出してみないと確認できません。

７×１１＝７７

７×１２＝８４

７×１１から，答えの一の位が繰り返し始めました。一の位の０までが，随分遠いのが７の段でした。すると，今度は次の声が聞こえてきます。

「７は半分にできない数だから，答えの一の位の０まで遠い」

７は整数の範囲で半分にすることはできません。そこで，これまでに学習した他の段も答えの一の位に０が登場するかけ算を確認します。

３×１０＝３０

５×２＝１０

３の段も，答えの一の位に０が来るまでが遠いことが分かりました。一方，５×２に対しては，「５は半分にできないけど，ちょっとすっきりした数だからだ」

「お金にも五円玉があるからね」

今度は，半分にできる数の答えに一の位が初めて登場するかけ算を調べます。

６×５＝３０

２×５＝２０

４×５＝２０

「半分の数は，かける数が５でリセットする」

（かけられる数が）半分の数は，かける数が５でリセットすることが見えてきました。

かけられる数が偶数か奇数かによって，答えの一の位の繰り返しのパターンが異なることを発見した素晴らしい子どもたちです。

７の段は４パターン？

 ２年生「かけ算」の学習です。次の問題を子どもたちに提示します。

「７の段のかけ算も，２つのかけ算の合体でできるかな」

６の段のかけ算は，右のような２つのかけ算を合体することで答えを見つけることができました。

この結果を，次のように子どもたちに確認します。

「６の段のかけ算は，３つのパターンの式があるんだね」

すると，次の声が聞こえてきました。

「それじゃあ，７の段は４つのパターン？」

この声を時間をかけてクラス全体で共有していきます。

「６の段から７の段は１増えるでしょ。だから，パターンの数も１増える」

「今までも，増えたら，もう一つが増えるというのがあったから，きっと４つのパターンになる」

「９月３日の虫食い算で，似た問題があったよ。虫食いの数字が４の時は式が４つできた。虫食いの数字が１つ増えて５になったら，式も１つ増えて５になったよ」

「本当だ！」

２年生でもこれまでの学習では，片方が増えればもう片方も増えるという経験を多くしています。その経験値が，上記のような子どもたちの発想を引き出すきっかけとなったのです。また，具体的な９月３日の学びと関連付けられる見方も，驚くべき発想力です。

さて，子どもたちが考えた変化のきまりは本当でしょうか。この段階では，子どもたちはまだ半信半疑です。そこで，７×２が何パターンの式にできるのかを実験します。

その結果は，残念ながら４パターンではなく３パターンでした。すると今度は別の見方が生まれてきます。

「２，４，６，８の段だけ変わるんじゃない？」

「半分にできる段だけ変わるんじゃないかな」

「１，３，５，７，９の段は変わらないんだよ。前の段のままだね」

子どもたちは，段数が偶数になると式のパターンが１つ増えると考えたのです。最初のきまりが当てはまらないことが分かっても，そこで諦めるのではなく，新たなきまりを探そうとする前向きな姿が素敵な子どもたちです。

さて，この新たな予想についても，子どもの考えは半信半疑でした。

新しいかけ段の学習を，式の組み合わせ数の変化で考えるという新たな追求目標ができました。

１セットは６個？ １セットは２個？

 ２年生「かけ算」６の段の導入場面です。子どもたちに次のように投げかけます。

「チョコは全部で何個でしょう」

次の画像を提示します。子どもたちは，見えたチョコの数をノートに書いていきます。多くの子どものノートには，６×２という式が書かれていました。

すると，ここでＹ子が「よくわからないところがあった」と呟きます。

「青いチョコは２個あったでしょ。でも，上の茶色のチョコが何個かよく分からなかった」

この声をきっかけに，子どもたちが動き出します。

「茶色のチョコは４個あったよ」

「だから，１セットは６個あるよ」

「１セットは２個だよ」

「えーっ？どういうこと？」

「１セット」という主語に続く言葉が２種類生まれてきました。それぞれの言葉の意味を，子どもたちが説明します。しかし，すぐにはその違いを理解できない子どももいました。すると今度は，次の声が生まれてきます。

「だったら，青と茶色のチョコを別々に式にしたらいいよ」

「茶色は４×２で８個」

「青は２×２で４個」

「２つを合わせたら１２個になるよ」

「１つの式にできるよ。６×２だよ」

「４の段と２の段を合わせたら６の段になる」

「たし算の筆算みたいだね」

「それなら，５×２と１×２を合わせてもできるよ」

６×２の答えを求めるには，既習のかけ算を合体すれば答えを見つけることができそうだということが分かりました。一方，「まだ，他のかけ算はわかんないよ」という声も聞こえてきます。子どもらしい声です。

そこで，６の段の他のかけ算も既習のかけ算を合体することで答えを見つけることができるのかを実験していきます。

その結果，６の段のどのかけ算も既習のかけ算を合体することで答えを見つけることができることが見えてきました。かけ算の学習は，中盤を過ぎると中だるみになる傾向があります。しかし，今回のように６の段を既習の２つのかけ算の組み合わせでも構成することができるという新しい見方を引き出すことで，かけ算学習も再び活性化していきます。

今回は，提示するチョコの色を２つに塗り分けた上で，「チョコ全部の数は何個？」と尋ねることで，６の段で全体を捉える見方と，色に応じて部分と部分で捉える見方の２つを引き出すことができました。この学習では，「１セットは６個」「１セットは２個」という子どもの声がきっかけとなり，この目的へと子どもたち自身の手で進んでいくことができました。

もちろん，これまでに子どもたちが見つけた「かけられる数ずつ答えが増える」というきまりでも，６の段の答えを見つけることもできます。このきまりも，授業の中で確認していきました。

さて，６の段のかけ算が完成したところで，「でも，他の段も筆算のように合体してできるのかなあ」という不安の声が聞こえてきました。多くの子どもは，他の段も合体でできそうだと考えていますが，不安そうな子どももいます。このような子どもたちに素直な気持ちのズレの存在が，他の段のかけ算を学習していく目的意識にもつながるのです。

愉しい算数授業をつくる研修会，間もなく満席！

以前お知らせしました「愉しい算数授業のつくる研修会」，間もなく満席です。参加を検討されている先生は，お早めに申し込みください。

期日：２０２０年１１月１４日（土）１２時３０分～１６時

会場：大阪府池田市立池田小学校

後援：池田市教育委員会

詳細は，以下の大会チラシをご覧ください。申し込みは以下のアドレスからお願いいたします。

morimoriaki504-tanosiisansuu@yahoo.co.jp

７×４，４×７？

 ２年生に次の問題を提示します。

「７つの袋があります。袋の中には，４個ずつ飴が入っています。飴は全部で何個ありますか」

問題を書いている途中から，「かけ算だね」「分かった。今日は７の段だ」「７×４だね」という声が聞こえてきます。予想通りの声です。

子どもから生まれた式は，次の２通りです。

「７×４」

「４×７」

多くの子どもは，７×４だと考えました。今日の学習はかけ算７の段だと勝手に思い込んでいる子どももいました。７×４だと考える子どもが，その理由を説明します。

「だって，問題が７が最初で，次に４が来るから７×４だよ」

「式は問題の順番通りだから，７×４だよ」

多くの子どもたちは，問題文の数字の順にその根拠を求めていました。一方，４×７だと考える子どもたちは，異なる理由を発表します。

「７×４は７が４個でしょ。４×７は４が７個でしょ。だから４×７だよ」

とてもよい説明が生まれてきました。しかし，まだ全員は納得しません。別の説明が続きます。

「知りたいことは，飴の数でしょ。だから４×７だよ」

「袋に飴が４個入っているってことでしょ。だから４×７」

この時点では，子どもたちの考えはまだ分かれています。すると，次の声があがってきます。

「図を描くと分かるよ。このお話の絵は袋に飴が４個ある。その袋が７個ある絵になる」

絵が完成すると，「あっ，そういうことか」という納得の声があがります。一方，同じ絵を見ているのに，「それなら７×４でしょ」と考える子どももいます。なかなか子ども全員が納得するところまではいきません。

すると，次の声が聞こえてきます。

「もし，７×４だとすると別の図になるよ」

１つの袋の中に７個ずつ飴が入った図が４袋完成します。７×４の図を見ることで，それまで「でも，７×４だよ」と言っていた子どもたちも納得しました。

４×７の図だけでは納得しなかった子どもを変えたのは，彼らが正しいと信じていた７×４の図が目の前に現れたことでした。言葉だけではなかなか子どもの考えは変わりません。特に低学年では，言葉と図がセットで議論されることが，クラス全員の子どもの納得へとつなげるために必要であることが見えてきます。

０でリセット！（かけ算４の段）

 ２年生「かけ算」の学習です。次の問題を提示します。

「車のおもちゃを作ります。１台に４個ずつタイヤをつけます。タイヤは全部で何個ですか」

この問題文は，板書シリーズ（東洋館出版社）２年下の山本良和先生の実践を引用しています。

問題文を見た子どもから，声があがります。

「車が何台かわからないと，タイヤの数がわからない」

「かけ算になるよね」

「例えば，車が２台なら４×２で８個だね」

「例えば」を使うことで，具体的な問題場面をイメージする声もあがってきました。そこで，車が１台の場合，２台の場合と順にタイヤの数を求めていきます。

３台目までタイヤの数が求められたとき，子どもたちが「おもしろいことがあります」と声をあげてきます。

「４ずつ増えている」

「だって，２の段は２ずつ，５の段は５ずつ，３の段は３ずつ増えたでしょ。だから，４の段も４ずつ増えていくんだよ」

これまでのかけ算の学習で学んだことをもとに，答えの増え方がかけられる数と同じ数だけ増え続けることが説明できました。

さらに，次の声もあがってきます。

「一の位が繰り返すんじゃないかな」

「４，８，２だから，この後に数字がいくつか続いて繰り返すよ」

「絶対に繰り返すよ。だって，今までも０が来たら繰り返してたよ」

「５の段は５，０，５，０だった。２の段は，２，４，６，８，０，２，４だった。３の段も３，６，９，２，５，８，１，４，７，０，３だった。だから，０がきたら繰り返す」

「０が来たら一の位がリセットされるんだ」

答えの一の位が繰り返すことを，ここでも既習のかけ算の一の位の繰り返しのきまりから類推しています。素晴らしい見方・考え方が生まれてきました。「０でリセット」という説明も，子どもらしくて素敵ですね。

しかし，４の段も一の位が繰り返すのかは，この段階ではまだ確かめられていません。子どもの中には，まだ不安そうな表情を浮かべる子もいます。そこで，４台目以降のタイヤの数をかけ算で求めていきます。

その結果，子どもたちの予想通りに一の位が繰り返すこと，さらには０でリセットされることが確かめられました。すると，さらに子どもたちは考えを拡張していきます。

「きっと，他の段も０でリセットされるね」

「でも，１０の段は違うよね」

「そうかなあ。１０，２０，３０，４０だから，０が繰り返すってことじゃない？」

既習のかけ算学習で見つけた決まりを，目の前の新しいかけ算に類推的に当てはめて考えようとする姿は，深い学びそのものです。しかも，類推的に考えることを子ども自らが進んで行っていけることに価値があるのです。素晴らしい子どもたちです。