旗のデザインを子どもに任せる

６年生「並べ方と組み合わせ」単元では，多くの教科書や問題集に旗の塗り分け問題が登場します。この問題を，次のように子どもに投げかけてみました。
「A〜Dを赤・黄・緑の３色で塗り分けます。隣り合う部分が違う色になるように塗ると，全部で何通りの塗り分け方がありますか」
　よく見られる問題です。通常は，この後，教師から塗り分けるための旗のデザインが提示されます。今回は，この部分を次のように投げかけて，子どもに任せてみました。
「どんな旗のデザインなら簡単にできそうかな」
　子どもたちは，ジェスチャーや言葉で「しましま」模様が簡単であることを訴えてきました。子どもたちは，右のような縦縞模様の旗なら簡単だと考えました。そこで，ノートに実験を行います。
　子どもたちは，先ずはAに赤を塗った場合を考えました。この場合は，全部で６通りの塗り方があります。他にも，Aには黄と緑を塗ることができます。そこで，６×３で１８通りであることがわかりました。

　次に，「もう少し，難しい旗のデザインはあるかな」と投げかけます。子どもから生まれてきたのは，中を十字架に分けるデザインでした。このデザインを見た子どもからは，「あれ，さっきと同じだよ」「そうかなあ？さっきとは違うんじゃないかな」と声があがります。さて，本当はどうなのでしょうか，子どもたちが，ノートに実験を行います。
　実験が始まってしばらくすると，「わかった６通りだ」という声と，「１２通りだよ」という声があがってきました。子どもたちの考えは２つに分かれました。
　６通りと考えた子どもは，右のように考えました。AとDは隣り合うので，赤を塗ることはできません。そこで，右のように考えたのです。Aには赤，緑，黄が入ります。そこで，２×３＝６通りと考えたのです。納得できる説明です。

ところがこの考え方に対して，「抜けている」と声があがります。
「赤→緑の次は赤じゃないのもあるよ。黄→緑の順もあるよ」
「赤→黄の次も，緑→黄もあるよ」
 　旗の模様が変わるだけで，色の並べ方が大きく変わりました。十字架模様の場合は１２通りの塗り方があることが分かりました。

　ならべ方と組み合わせの学習では，教師が問題場面を全て提示することが多いのではないでしょうか。しかし，このように子どもに問題場面の一部を任せることで，様々なバリ―ションの問題を創り出すことができるのです。

　

樹形図との出会いを演出する

正方形を提示し，子どもたちに「最短ルートは何本ありますか」と投げかけます。スタートは左下端，ゴールは右上端です。辺上のみを移動できます。この場合は，２本です。

　次に，この正方形を組み合わせて縦横の長さを２倍に伸ばします。田の字ができます。このときの最短ルートを予想させました。子どもたちの予想は４本，６本，７本，８本，10本，12本と様々でした。

「辺の長さが２倍だから，本数も２倍で４本」

「田の字の中に正方形が４つできるから，本数も４倍になって８本」

この２つの理由が，論理的に納得できる理由として支持されました。

　実際の本数を実験します。ノートに最短ルートを作図していると，「面倒」という声が聞こえてきました。この面倒さへの気付きが算数学習では大切なのです。

　実験の結果，最短ルートは６本だと分かります。この実験の過程で，子どもたちは最短ルートが線対称になっているパターンを発見します。これが分かることで，「半分調べて，あとは２倍すればいいよ」というアイディアが生まれてきます。

　さらに図形を拡大します。縦横に正方形が３個ずつ並んだら何本の道ができるでしょうか。子どもの予想は８本〜90本まで分かれました。

　実際の本数を実験します。しかし，この実験はさらに大変でした。「ごちゃごちゃする」「あれ，これはもう描いてあった」という声が次々とあがってきました。友だち同士でノートを見せないながら，だぶりや落ちがないかチェックし合う姿が見られました。

　最終的に最短ルートは20本できることが分かりました。全ての道を描き出した子どもたちは，かなりの割合でだぶりがありました。

　

　一方，図の交点に番号を付けて【S-12-９−５−２−３-G】【S-12-９−５−３−２-G】とルートを描き出す子どもたちもいました。この方法だと，数字を順に書き出していくのでだぶりはなくなります。

　さらにこの方法を簡便に樹形図化した方法も生まれてきました。同じ番号の部分を省略して書くアイディアです。

「これだと簡単」

「だぶりがない」

　樹形図の簡便さに気付く声がたくさん生まれてきました。さらに，次の声もあがります。

「最初に上に行く最短ルートを調べれば，あとはそれを２倍すればいい」

「最初に横に行くルートは線対称だからだよね」

　樹形図をさらに活用する声です。半分の最短ルートを樹形図で求めた後，残りは計算で求める考えです。

　簡便な解決方法を形式的に教えることは簡単です。しかし，それでは子どもはその方法の本当のよさを実感することはありません。苦労を体験した後でその方法に出会うからこそ，子どもたちは本当のよさを実感するのです。

重視される数学的な見方・考え方

２０２０年版学習指導要領算数科の目標の冒頭に，次の言葉があります。
「数学的な見方・考え方を働かせ，数学的活動を通して，数学的に考える資質・能力を次の通り育成することを目指す。」
　その後のページでも，繰り返し登場してくるのが「数学的な見方・考え方」です。次期学習指導要領では，数学的な見方・考え方を授業の中で働かせることが重視されているのです。

　では，数学的な見方・考え方の具体像はどのようなものでしょうか。これも学習指導要領解説書で次のように説明されています。
「事象を数量や図形及びそれらの関係などに着目して捉え，根拠を基に筋道立てて考え，統合的・発展的に考えること」
　その後も，この言葉が繰り返し登場してきます。しかし，上記のように説明されても「うーん，よくわからない」「どういうこと」と感じる先生も多いのではないでしょうか。また，実際の授業ではどんなことに気をつければいいのでしょうか。具体的な授業を構想する段階になると困ってしまう先生も多いのではないでしょうか。

「数学的な見方・考え方」を含め，次期学習指導要領について具体的な授業とつなげた解説本を来春，明治図書から出版します。詳細は，後日お知らせします。

　また，「数学的な考え方」についての公開研修会が次の通り行われます。
２月１０日（土）　筑波大学附属小学校公開研修会　算数科分科会
　この分科会で，私は学校側の立場として提案を行います。数学的な考え方を重視した授業でのポイントや現場の先生方に気をつけてもらいたい注意点などを提案します。こちらもお楽しみに！

第８回関西大学初等部研究会で算数授業を公開します

毎年恒例の関西大学初等部の研究会の案内が完成しました。ホームページに案内が掲載されています。以下のアドレスからお申し込みください。

http://www.kansai-u.ac.jp/elementary/2017/11/post-523.html

今年は，これまで4年間担任してきた６年生の子どもたちとの最後の研究会です。教科書の学習内容をほぼ終えている６年生ですので，ハードルの高い問題にチャレンジしてもらおうと考えています。

例年，多くの参加申し込みをいただいています。そのため会の運営の安全面から，申し込みを締め切ることもあります。早めのお申し込みをお勧めします。

データを批判的に見る

次期学習指導要領から，「データの活用」領域が新設されました。その中で，データを批判的に見ることが重視されています。これまでにも，６年生の「資料の整理」単元の中で同様の授業が行われてきたことがあります。ただ，それらの多くはデータを批判的に見させる授業でした。子どもがデータを批判的に見たくなる展開は多くはありませんでした。子どもが，データを批判的に見たくなる授業を考えてみました。

ブロック飛ばしゲームに取り組んだ子どもたちに，次のように投げかけました。

「ブロック飛ばし『１組は弱い』という２組の主張は正しいか」

　１組のゲーム結果は，右の柱状グラフの通りです。刺激的な問いかけに子どもたちは大興奮です。子どもたちは，「両方のクラスの平均を比べればわかる」と考えました。そこで，１組の平均値を求めます。１組の平均は53.1点でした。続いて，２組の平均を発表します。２組は44.1点です。この結果に，子どもたちは「やったー」と大喜びです。平均値では，圧倒的に１組の勝利です。ではなぜ，２組は「１組は弱い」と主張したのでしょうか。その理由を考えます。子どもからは，次の声があがってきました。

「最頻値と最大値が違うんじゃないかな」

「最頻値が高い」

　「最頻値が高い」は絶妙な言葉です。しかし，難解な言葉でもあります。この意味をじっくりと共有します。その過程で，新たな予想もあがってきます。

「最頻値が１組よりも高い95点。でも，０点台の人も多いんじゃないかな」

　さて，結果は子どもたちの予想通りでしょうか。２組のデータを１人ずつ提示していきます。95点→95点→95点→95点→…と次々と95点カードが登場します。１組の最大値は90点で１人です。「やばいほど多い」と声があがります。このままでは，２組圧倒的勝利です。しかし，子どもたちは「でも，きっと０点がたくさんいる」と先を予想します。その後もカードを貼っていきます。

　結果は，（右図の通り）２組の最頻値は95点で８人もいました。ところが，０点が６人，２点が１人と10点未満が７人もいます。10点未満は１組は３人です。データ全体を見渡すと，確かに２組は最頻値は１組よりも高く，人数も多くいます。しかし，20点台以下の人数もとても多くいます。そのため，多くの子どもたちは「やっぱり１組の方が強い」と考えました
。もちろん，90点台の人数の圧倒的な多さから，「２組が強く見える」いう意見もありました。視点を変えれば，データが異なって見えます。これこそ，データを批判的に見ることにつながります。

ブロック飛ばしゲームからヒストグラムへ

データの活用が，次の学習指導要領改訂の目玉の１つになっています。そこで，次のような授業を行ってみました。

子どもたちに，「ブロック飛ばしゲームをしよう」と投げかけます。様々な得点の書かれたエリアに向けてブロックを指ではじくゲームを行います。１人５回ブロックを飛ばします。その合計を求めます。

ゲームが終わった時点で，各自の得点をカードに書かせます。そのカードを黒板に順に貼らせていいきます。子どもたちは，得点カードをどのように貼るでしょうか。
当初は，黒板に出た順に端からカードを貼っていきました。ところが，「もっとわかりやすく貼ろう」という声が生まれ，０点を端にして得点順にカードを貼り直します。では，どのように子どもはカードを貼り直すでしょうか。

０点の子どもが何人もいました。すると，子どもたちは０点の隣に０点のカードを貼ります。そのまた隣に０点のカードを貼ります。こうしてカードを順に貼っていきました。０点→１点→２点→３点→４点→５点とカードを貼ります。カードは横に伸びていきました。次に７点を貼るときに，子どもたちにズレが生まれました。５点のすぐ隣に７点を貼ろうと考える子どもと，５点と７点の間に隙間を空けようと考える子どもです。子どもたちは，以前の学習でグラフの横軸の目盛りの配分の仕方を学習しています。その学習をもとにすると，５点と７点の間に隙間を空けることが必要になります。

カードの数字の幅を等間隔に空けることをもとに，カードを再度はり続けます。２０点を超えるあたりから，カードが黒板に入りきらなくなります。そこで子どもから生まれてきたアイディアが，同じ得点のカードを縦に並べることでした。０点のカードを，縦に積み上げていきます。１点のカードも縦に積み上げていきます。これで，カードを貼るスペースがかなり確保できました。

しかし，横軸の目盛りは等間隔です。例えば，２０点と２５点の間の得点はありませんでした。しかし，その部分も空白スペースとして確保する必要があります。そのため，４０点を超えると再びカードが貼れなくなってきました。
「どうしたらいいかな」
と子どもたちに投げかけます。
ここで子どもから生まれてきたのが，「１０ずつカードをまとめる」「０～９，１０～１９，２０～２９・・・とまとめて，縦に貼る」というアイディアでした。これなら，一気にカードを貼るスペースが確保できます。このアイディアで生まれた貼り方こそヒストグラム(柱状グラフ）そのものです。

カードを貼るスペースに制限がある状況を意図的に設定しました。そのような状況に出会ったことで，それまで個別に貼っていたカードを，ある範囲を決めてまとめて貼ろうというアイディアが生まれてきたのです。データの活用で大切なことは，このように子どもが自らデータに働きかけていくことです。教師が無理やり子どもにデータを活用させるのではありません。