テープ図はできない！

 ２年生の子どもたちに，次の問題を提示します。

「リンゴ狩りに行きました。お父さんは５２個とり，花子さんより７個多く取りました。花子さんは，リンゴを何個取りましたか」

　問題文を板書している途中から，「テープ図にできるね」「簡単だね」という声が聞こえてきました。前日も文章問題をテープ図に表す学習を行っています。子どもたちも，その延長線上の学習だと考えています。

　そこで，問題文に合うテープ図作りに取り組ませることにしました。子どもたちがノートに向かってテープ図を描き始めます。ところが，しばらくすると「あれ？」「おかしい」「できない」「難しい」という声が聞こえてきます。簡単にできると考えていたテープ図ですが，いざ，作成をはじめてみるとうまくできないことが見えてきました。

　苦労をしながら，なんとか作りだしたテープ図

は右の通りです。しかし，十分に納得できない表情の子どももいます。

　そこで，次のように子どもたちに投げかけます。

「昨日の色紙の問題は，誰の色紙の問題でしたか？」

　前日の問題は，つぎのものでした。

「お兄さんから色紙を１２枚もらったら，色紙は全部で２７枚

になりました。色紙ははじめに何枚ありましたか」

　従って，子どもからは「自分」「わたし」と声があがります。

　さらに，次の問いかけを行います。

「昨日の２番目の問題は，誰が空き缶を拾った問題でしたか？」

　この問題はつぎのものでした。

「空き缶を昨日３４個拾いました。今日，何個か拾ったら

全部で４３個になりました。今日，何個拾いましたか」

この問題も，「自分」「わたし」と声があがります。

　するとここで，子どもたちから声があがります。

「全部１人だ」

「でも，今日の問題は２人だ」

「お父さんと花子さんの２人だから難しいんだ」

　テープ図を作ることに難しさを感じた原因が，テープ図に表す人数にあることへの気付きが生まれてきました。この声をきっかけに，それまでのテープ図の描き方を見直す声があがってきます。

「だったら，２人を別々にしたらいいよ」

「そうしたらわかりやすくなるかも」

　テープ図を２段にする方法は，私から提示します。

「これなら簡単」「わかりやすい」と声が聞こえてきました。２本のテープ図を子どもが使いたくなる場面設定を行うことで，その必要性を実感することができた授業となりました。

テープ図のきまり！

算数の授業では，問題場面をテープ図に表す学習を進めています。先日，次の問題を提示しました。

「お兄さんから色紙を12枚もらったら，色紙は全部で27枚になりました。はじめに色紙は何枚ありましたか」

　この問題文に合うテープ図は右のようになります。

このテープ図から，□を求める式は「27-12」になることが分かります。

　ここまで授業が進んだところで，「おもしろことがある」と声があがってきました。２年生の子どもたちは「おもしろいこと」を見つけることが大好きです。

　さて，「おもしろいこと」とは一体なんでしょうか？

「テープ図の下の全部が□なら，式はたしざんで，上の片方が□なら式はひきざん」

　この日に学習した問題は，テープ図の上の部分の片方に□（未知数）が位置付いています。このパターンのテープ図から導き出される式は，ひきざんでした。

　一方，前日までに学習したテープ図問題は，右のよう

なタイプでした。テープ図の下の全体量の部分が□になっています。この□を求める式は，たしざんになります。

　これらのテープ図を比較することで，□の位置によってテープ図から導き出される式が，たしざんなのかひきざんのかが特定できるという発見です。私も，こんな見方が子どもから生まれてくるとは思いませんでした。子どもの視点は素晴らしいですね。

この発見を聞いた子どもからは，次の声が聞こえてきました。

「本当だ！　他の問題もそうなっている」

「でも，たまたまかもしれないよ･･･」

 

　後者の指摘も大切な声です。ここまでに子どもたちが出会ったテープ図の問題は３問です。子どもから生まれた発見が一般化できると考えるのは早すぎという指摘も一理あります。

　その後，他の問題で子どもの発見を検証していきました。結果は，子どもたちの発見が正しかったことが見えてきました。

　自主学習で，この発見の確からしさを過程でも自主的に検証する子どもが

何人もいました。子どもの学びはつながっていきます。

式のしりとり

子どもたちに，次にように投げかけます。

「２つの数字を選んで，十の位同士のひき算を作ります。大きい数から小さい数を引きます」

　５と３を選んだ場合は，「53-35」の式ができます。この答えは，「18」です。そこで今度は，この答えの１と８を使って式を作ります。「81-18=63」となります。さらに，この「63」を使って「63-36=27」と式を作ることを繰り返していきます。

　ルールを理解した子どもからは，「しりとりの式だ」と素敵な言葉が聞こえてきました。子どもらしいたとえです。

　この計算を続けていくと，右下のように途中で「54-45=9」となります。答えが９になった時点で，「これで終わりだ」と考える子どもが多数いました。

　一方，「十の位を透明な０と考えたら，次の式が90-9と作れる」という声もあがります。「透明な０と考える」という見方は素敵ですね。

　答えの９を，透明な０があると考え「09」とすると，さらに式を続けていくことができます。次の式は，「90-9」になります。

今度は「90-9=81」の答えが出た子どもから，「おもしろいことがある」と声があがります。おもしろいことなんてあるのでしょうか？

「81の次の式は81-18だから戻っている」

「ずっと計算が続く」

このルールで計算を行うと，確かに同じ計算が繰り返されていきます。この式の繰り返しに子どもたちは，おもしろさを感じたのです。

しかし，これは３と５の数字のときだけの偶然かもしれません。子どもたちも，この時点では式が繰り返されることに対しては半信半疑です。

そこで，他の数字で実験を行うことにしました。

　その結果，右のように８と９，４と１でも子ど

もたちが見つけたきまりが当てはまることが確かめられました。

するとさらに，次の声も聞こえてきます。

「最初の式は抜いて，式が繰り返している」

「繰り返される式は５つある」

　３種類の組み合わせを比較することで見えてきた，新たな発見です。

　計算練習をしながら，次々と新しい発見が生まれた１時間となりました。

　この実践は，田中博史先生の「カプレカ数」の実践を参考にしています。

式の数の秘密

子どもたちに次のように投げかけます。

「□の中に０〜９の数を入れて式を完成させよう」

　右の式の□の中に，数字を入れて式を完成させます。問題を見た当初は，これまでに取り組んできた虫食い問題の延長戦上だと子どもたちは考えていました。従って，「簡単にできる」と多くの子どもが考えています。

　しばらくすると，「できました」と声があがります。一方，簡単だと考えていたのにもかかわらず「できない」と悩んでいる子どももいます。

　「できました」と声をあげた子どもたちは，左の式を発表します。ところが，この式では０を２回使っています。これまでの虫食い問題では，同じ数字は１回しか使えないというルールでした。このルールのままでは，この計算は成立しません。

　そこで，今回は同じ数字を２回使ってもいいことにします。

 

　次に１を２に変更して□の数を考えます。「これも簡単」と声をあげながら子どもたちは計算を始めます。

　しばらくすると，「式は２つある」と声があがります。本当に式が２つあるのか確かめます。その結果，右の２つの式があることが確認できました。

　するとここで「おもしろいことがある」と声

があがります。おもしろいことなどあるのでしょうか･･･。

「最初の式は１があって，式が１つ」

「次の式には２があって，式が２つ」

「問題の数字とできる式の数が同じ」

「だったら，式に３があれば，式が３つできる」

「式に４があれば，式が４つできる」

　問題の数字と式の種類数に関係があるという発見が生まれてきました。

　さて，このきまりは本当でしょうか，それとも偶然でしょうか。半信半疑の子どももいます。そこで，３を入れて関係のきまりを確かめます。

　結果は，左のように３つの式ができました。きまりは正しいといえそうです。その後，数字を自由に決めてきまりを確かめます。

「本当に９は９こあった」

「４は４こあった。すげー」

　このように計算を進める中で，きまりの確からしさを実感した喜びの声があがってきました。

　子どもの手できまりの正しさを確認できることは，算数の学びの愉しさにつながっていきます。

２番目に答えが大きい式は？

前回の子どもたちからの「でもさあ，答えが２番目に

大きい式の問題だったら難しくなりそう」の疑問の声を受けて，次時の算数の授業がスタートしました。

　１□□−□□の□の中に２，３，４，５の数字を１つずつ入れます。答えが最大になる式は，「１５４−２３＝１３１」でした。

　

　今日は，答えが２番目に大きくなる式を探します。

　子どもたちがノートに計算を進めていきます。しばらくすると，「できました」「１２２だ」「式が２つある」などの声が聞こえてきました。子どもたちが２番目に大きい答えの式と考えたのは，バラバラでした。答えは，「122」「113」「111」「87」「129」の５種類ありました。

最も多くの子どもが考えたのが，答えが「122」の式でした。

その式は右の２通りありました。

そこで，この式を考えた子どもたちの気持ちを読解させます。

「昨日は，ひく数の23を１番小さい数にしたでしょ。２と３を入れ替えたら32でしょ。これが２番目に小さい数になる」（左式）

「２番目に小さい数をひけば，答えが２番目に大きくなる」

　子どもたちは，この説明に納得しています。子どもたちの視点は，ひく数のみに限定されています。使っている数字カードや引かれ数にまで視点の範囲を広げて見ることは，２年生にはなかなか難しいようです。

　そこで，次のように子どもに確認します。

「一番小さい数が23。２番目に小さい数が32でいいんだね」

　この投げかけで，子どもたちから気付きの声があがります。

「違う，もっと小さい数がある」

「24，25はもっと小さい」

　この声をきっかけに，「122よりも大きい答えの式がありそうだ」と子どもたちの意識が変わります。そこで生まれてきたのが，左の式です。

　ところが，「どうやって，そんな式を思いつくの？」と疑問の声があがります。今度は，この疑問を解消していきます。

「引かれる数の154の次に小さい数は153。残る数字は2と４。これで引く数を作ると，24か42。ひく数が小さい方が答えが大きくなる」

「だから，24を引いた方が答えが大きくなる」

 

　子どもたちは当初は感覚的に数字の操作を行い式を作っていました。ところが，友だちの疑問と向き合う中から，数に対する感覚的な見方が論理的な見方へとレベルアップしていきました。

答えが○○になる式を作ろう！

算数の時間，次のように子どもたちに投げかけます。

「２・３・４・５の数字を１回ずつ使って，答えが一番大きくなる式を作ろう」

右の□の中に，４つの数字を当てはめて式を作ります。

（この問題は「アイテム」から引用したものです）

問題を見た子どもたちからは，「簡単」「式は１つしかない」「繰り下がりはないね」などの声が聞こえてきました。　

　

計算を終えた子どもから，「わかった，答えは131だ」という声がたくさん聞こえてきます。子どもたちが見つけた，答えが一番大きくなる式は，「154-23=131」でした。これ以上の答えになる式は見つかりませんでした。「154-23=131」が答え最大の式で間違いなさそうです。

では，子どもたちはどのようにしてこの式を見つけたのでしょうか？

「答えを大きくしたいから，ひかれる数をできるだけ大きな数にする。それは154」

「反対に，ひく数は一番小さい数にする。それは23」

ひかれる数とひく数の大きさの関係を指摘する声です。しかし，この声に意味を理解することは，２年生の子どもには簡単ではありません。そのとき生まれてきたのが，Ｓ子の次の説明です。

「例えば，0.1.1の３つの数字の式なら，10-1=9が答えが一番大きいでしょ。引かれる数を一番大きくして，ひく数を一番小さくすれば答えは一番大きくなる」

　「0.1.1」のシンプルな数字を例にした説明で，答えが最大になる式の秘密の理解が一気に進みました。こんな例題が２年生から生まれるのは素晴らしいですね。

 

　秘密が見えると，子どもからは「分かった，今度は答えが一番小さい計算だ」と声があがります。この発想が生まれてくるのも素敵です。子どもたちが学びを深めていった瞬間だとも言えます。

　早速，子どもたちがノートに式を探していきます。子どもたちが見つけた式は，「123-54=69」です。これが答え最小の式で間違いなさそうです。

　

　子どもたちは，この式を見つける秘密を語り出します。

「さっきの反対だよ。ひかれる数を今度は，一番小さくする」

「ひく数は，一番大きくする」

「さっきの54と23を反対にすればいいんだよ」

　この問題でも，子どもたちは答えを見つけるために秘密を見つけることができました。すると今度は，こんな声が聞こえてきます。

「でもさあ，答えが２番目に大きい式の問題だったら難しくなりそう」

「そうかなあ？　２番目だってきまりを使って簡単じゃないかな？」

　これまでは１番目シリーズの式探しをしてきました。その結果を踏まえて，上記の声が生まれてきたのです。問題場面を拡張していく声が，子どもから生まれてくることも子ども自身が学びを深めていく姿だといえます。こんな視点が子どもから生まれてくるのも，本当に素敵ですね。

繰り下がりは１回？ ２回？

２年生の大きな数のひきざんの一コマです。

「難しい度アップアップ問題」と命名されたひかれる数の十の位が０のひきざんに取り組みました。右のような「106-59」の計算をノートに行います。

答えが47と求められたあとのことです。子どもから次の声があがってきます。

「繰り下がりは２回だったね」

「えっ？　１回でしょ」

「違うよ。２回だよ」

 

　大人が考えると，繰り下がりは２回に見えます。ところが半数ほどの子どもたちは，繰り下がりは１回だと考えました。子どもたちの論理を予想できるでしょうか。

 

「繰り下がりは１回。だって，百の位から十の位と一の位に10をプレゼントしたんだから，１回」

「そうじゃないよ。借りているのは10と10の２個だから２回」

「そうだよ。百の位から十の位に100をプレゼントしたでしょ。これは10が10個。次に，その中の１個の10を一の位にプレゼントしたでしょ。百の位から十の位で１回，十の位から一の位で１回だから２回だよ」

「やっぱり１回だよ。だって，借りてきた元は百の位でしょ。元は百の位の１個なんだから１回だよ」

 

　これまで子どもたちが学習してきた繰り下がり２回の計算は，

右のようなタイプです。これは一の位が引けないので十の位から10を借ります。十の位も引けないので百の位からも10を借ります。借りる元が十の位と百の位と２カ所あります。

ところが今回の問題は，元々の借りる先は百の位の１カ所です。そこから十の位に一旦繰り下げ，そこからさらに一の位に又貸しをする形になります。これが繰り下がり１回と考える子どもたちの論理です。借金で例えると，借りた先は百の位だけで，十の位は単に橋渡しをしただけの存在ということになります。

 

　10を借りてきた元々の場所の数で考えたら１カ所，これが１回と考える論理の根拠です。一方，繰り下がりの手続きの回数で見たら，２回の手続きを行っています。これが２回と考える論理の根拠です。

両者の言葉の違いから，論理の違いが明確になった授業となりました。