子どもの見方

 分数×分数の授業を行っていたときのことです。縦：2/3ｍ，横：3/4ｍ，高さ：4/5ｍの直方体の体積を求める問題に取り組んでいました。体積を求める式は，「2/3×3/4×4/5＝2/5（㎥）」になります。私は，次は別の図形の問題に進もうと考えていました。すると，Ｎ子が「気付いたことがあります」と声があげました。一体，なにに気付いたというのでしょうか。

「３つの式の最初の分数の分母は３。２つ目の分数の分子は３で同じ。分母が４。３つ目の分数の分子は４で同じ。そして，答えは，同じ数字がない最初の分数の分子と最後の分数の分母になっている」

この声を聞いて，「当たり前だよ」という声も聞こえてきましたが，「たまたまだよ」という声も聞こえてきました。前者は演繹的に考える見方です。後者は一般化の視点に立った見方です。

先ずは，Ｎ子の見付けたきまりに，一般性があるのかを「4/5×5/6×6/7」の計算で試します。すると，結果は4/7です。この計算でもＮ子の決まりが当てはまりました。一般性が見えてきました。すると，今度は「当たり前だよ」という声が，先ほどよりも強烈に高まってきます。子どもたちが，式に対して演繹的に捉えたくなっていることを示した姿です。

「今の計算なら，途中式で分母と分子を約分すると，同じ数同士が消える。残るのは４と７だから当たり前だよ」

「分母と分子の数字の順番を入れ替えたら，さっきの式は『5/5×6/6×4/7』になって，『5/5×6/67』は『１×１』と同じだから4/7になる」

「数字の順番を入れ替えてもいいのは，途中式が分子は『4×5×6』で分母は『5×6×7』だから，その部分だけを見たら数字の順番を入れ替えてもいいんだよ」（Ｙ子）

Ｙ子の説明は，式の数値を単純に変えたら問題場面の意味が変わることを意味しています。『5/5×6/6×4/7』に式変形を行うと，直方体の形自体が変わってしまいます。場面を変えて考えるのではなく，途中式の分母と分子に視点を分けて考えることで，式の順番を変える正当性を説明したのです。論理的なすぐれた見方が生まれてきました。

短い時間でしたが，子どもから生まれた発想をもとに，分数の新たな見方を実験することで，その一般性を確かめることができた時間となりました。

子どもの反応

 ２０２２年度に入り，いくつかの学校を訪問しました。私が公開授業を行った学校もあれば，会場校の先生方が授業公開をされた学校もあります。訪問した地域も様々です。都市部の大規模校もあれば，複式学級がある小規模校もありました。しかし，そこで見られる子どもの反応には地域差や学校規模の差はありませんでした。どの学校からも，教師からの発問や課題提示に対して素直な声や呟き・表情が生まれていました。日本の子どもは素直だなあと実感しました。

逆に，それらの素直な声などを十分に生かし切れていない先生方の姿も見えました。せっかく生まれてきた素直な思いが，スルーされている授業も見られました。もったいないなあと感じました。

一方，それらの声を授業の舞台に載せて，子どもの思いに寄り添った展開へと導いている先生もいらっしゃいました。これらの先生に共通しているのは，事前に計画した指導案を修正できる勇気と大胆さがあることです。子どもの反応が想定通りにならないことは，よくあることです。そんなときこそ，教師の力量が試されます！

学級経営＆算数講座終了！

 昨晩は，新潟大学教育学部附属長岡小学校主催の「学級経営＆算数講座」が開催されました。北は北海道〜南は九州・熊本まで２３０名を超える先生方にお集まりいただきました。２時間の長丁場でしたが，熱い先生方の思いが伝わる時間となりました。先生方の明日からの学級経営や算数授業作りの参考になったでしょうか。

今回の講座には，我が家の娘の同級生も参加してくれていました。家族ぐるみで交流のある娘さんです。時のたつのは早いなあと実感しました。

一方，私と同期の先生方も多数参加されてくれていました。多方面の世代の先生方と交流を深めることが出来ました。

次回は，１１月１９日（土）に，対面形式で長岡市で講演会を開催します。お楽しみに！

分数を図で表すのは難しい！

 分数×分数の学習場面です。次の問題を提示します。

「縦8/9ｍ，横3/4ｍの長方形の面積を求めましょう」

計算で答えを求めること自体は，子どもたちには簡単です。そこで，「図で答えが本当に正しいのか確かめよう」と投げかけます。

分数の作図自体は，これまでにも何回も経験しています。ところが，しばらくすると子どもたちの鉛筆が止まる姿が目に入りました。右図まで描いて止まっているのです。

そこで「どこを困っているのか考えよう」と投げかけます。

「緑のますが，縦に８個・横に３個あるから，８×３で２４個」

「だから答えは24/24㎡･･･」

図をこのまま見たら「24/24㎡」になる気持ちを共有します。しかし，なんとなく図から見えたこの答えに違和感を多くの子どもが抱いていました。しかし，その原因が明確に見えていない子どもたちも多数いました。

そこで，この違和感の原因を追及していきます。

「全体の図を描いたら分かるよ」

「8/9ｍは本当はもう１つますが増えて1ｍになる」

「3/4ｍも，もう１つますが増えて１ｍになる」

「だから，縦１ｍ・横１ｍの全体がもとになるから，全体は９×４＝３６個」

「24個/全体で考えるから，24/36㎡になる」

本時の問題は，量分数を扱っています。従って，その基準量は１ｍです。この意識が飛んでしまうと，分母の数が見えなくなってしまいます。

今回は面積の問題を作図することを通して，分数の基準量を再認識することもできました。

分数×整数が使える

 子どもたちに次の問題を提示します。

「１分で4/5Ｌのお茶を作るマシンがあります。2/3分では何Ｌのお茶を作ることができますか」

４ます関係表を使って，式を確認します。「4/5×2/3」で立式できることが見えてきました。ここで，次のように子どもたちに投げかけます。

「この計算，どうやって計算したらいいのかなあ？」

すると，子どもたちから次の声が聞こえてきました。

「分数×整数と同じように考えたらいい」

「分数×整数は分子をかけた」

「今度も分子はそのままかけて，分母のそのままかけたらいい」

分数×整数の計算方法を活用し，分数×分数も同じように考えたのです。よい考え方が生まれてきました。

子どもたちが考えた計算方法で実験すると，先の計算は8/15Ｌと答えが出ます。ところがここで，「でも，それって合ってるのかなあ？」と声があがります。この声に続いて，「だったら図を描いたらいい」という声もします。そこで，確認することにします。

4/5Ｌの図を描くところまでは，順調でした。ところが，その先が進まずに困っている子どもたちの姿が見えました。そこで，彼らの悩みを先ずは共有します。

「4/5Ｌはできたけど，そこをどうやって2/3にするのかが分からない」

4/5Ｌの図をどのように2/3倍にするのかで，悩んでいたのです。分数の乗除場面を図で表現することが，分数学習の最大の難問です。計算はできても，作図ができない子どももいます。これは，分数の意味が本当はよく分かっていないことになります。

どのように2/3倍にするのかを，考えていきます。

「（左右の）端から端までで１分」

「そこを縦に３つに分けます」

「左端は1/3分の場所」

この説明で，多くの子どもから「分かった！」と納得の声が聞こえてました。

「真ん中の図のところまでだと，2/3分になる」

「右端まで行くと，3/3分になる」

「だから緑で塗られた2/3分の部屋は，8個ある」

「1Ｌ全部の部屋は15個あるから，8/15Ｌになる」

1/3分が2つ分で2/3分なる見方を理解するのに時間はかかりましたが，最後は全員が納得しました。

分母同士・分子同士をかけ算する方法でも，正しく計算が出来ることが図からも見えてきました。この後は，この方法の妥当性を他の問題を通して確かめていきました。

論理から新しい論理が生まれる

 分数÷整数の計算を，倍分することで計算ができることを発見した子どもたち。この方法が，他の問題で適用できるのかを試していきました。

「４分で5/6Ｌのココアを作るマシンがあります。１分では何Ｌ作れますか」

この問題も，倍分で解決ができます。

5/6÷4＝（5×4÷4）/6×4＝5/24

答えを見つけることができました。しかし，本当にこの計算が正しいかは，図で確認する必要があります。その結果，図でも5/24Ｌになることが確認できました。

さて，この計算をしている途中で，何人かの子どもたちが「気付いたことがあります」と声をあげます。この気付きを，時間をかけて共有していきました。

「分子の5×4÷4は消える」

「×4÷4は結局１だから，分子は５」

「だから，分母だけ計算したらいい」

「5/6÷4は5/6×1/4をしていることと同じになるんだよ」

最後の説明は，すぐには子どもたちに理解されませんでした。論理の飛躍があるからです。

そこで，÷４を×1/4と考えることができるのかを，クラス全体で考えていきます。

「問題は４分を１分にするんだから，÷４をする」

「でも，４分を１分にするのは1/4と考えることもできる」

この最後の説明は，子どもたちにフィットしました。「そういうことか」と納得の声が聞こえてきました。

これで子どもたちは，分数÷整数の２つの計算方法を発見したことになります。ここには書き切れませんでしたが，この他にも白熱した議論がたくさん交わされました！

論理で壁を乗り越える

 分数×整数の学習を終えた子どもたちに，次の問題を出します。

「２分で4/5Ｌのジュースを作るマシンがあります。１分では何Ｌ作ることができますか」

子どもたちは，４ます関係表で式を確定していきました。式は「4/5÷２」となります。そこで，「この計算は，どうやったらいいかなあ」

と投げかけます。すると，子どもから「かけ算のやり方でできる」という呟きが聞こえてきました。そこで，この声を共有していきます。

「『かけ算のやり方でできる』とは，どうことか気持ちは分かるかな」

ここで，すばらしい説明が生まれてきました。

「この前のかけ算では，4/5×２だったら，（4×2）/５と分子を計算しました。だから，わり算も分子だけ４÷２と計算すればいいということです」

具体的なかけ算の式を例示したことで，子どもたちが一気にその意味を理解することができました。

分子だけをわり算すると，答えは2/5Ｌとなります。しかし，この答えは本当に正しいのでしょうか。そこで，図で確認をします。

すると，2/5Ｌになることが分かりました。つまり，分子を計算すれば，分数÷整数の計算もできるということになります。

ところがここで，「中途半端な数ならどうするの」「割れなかったら？」と声があがってきます。分子がわきりれないと，今回の計算方法は使えないという限界を指摘する声です。鋭い指摘です。

そこで，具体的問題場面で考えることにしました。

「３分で4/5Ｌのジュースを作ります。１分では何Ｌ作れますか」

式は「4/5÷３」です。先ほどと同じように計算すると，分子は「４÷３＝1.333･･･」となりわりきれません。やはり，この方法は限界があるのでしょうか。

すると，「だったら通分したらいいんじゃない？」という声が聞こえてきました。今度は，この声を読解していきます。

「4/5を変えればいい」

「3をかければいい」

「（4×3）/（5×3）ならわれる」

4/5の分母・分子に3をかけて12/15に変身させます。この分数なら，分子を3でわることができます。「12/15÷3＝4/15」でうまく分子をわりきることができました。しかし，これはあくまでも計算上です。正しいかどうかは，図で確認します。

その結果，図でも4/15Ｌになることが見えてきました。すなわち，分子が割れない場合は，わられる数を倍分（子どもは通分と言っていましたが）することで計算を進めていくことができるのです。

これまでに子どもたちが学習してきた学びを論理的に組み立てていくことで，目の前の壁を乗り越えていくことができたのです。