答えが一番大きい式は？

 子どもたちに次のように投げかけます。

「０．１．２．３．４の５枚の数字を全て使った，百の位×十の位のかけ算の式を作ろう」

式のイメージはすぐにつきます。そこで，「答えが一番大きくなる式を作ろう」と投げかけます。計算をしないで，頭の中に答えが最大値になる式として浮かんだものをノートに書かせました。

頭に浮かんだ式を，発表させます。

「ア：３２１×４０」「イ：２１０×４３」「ウ：３１０×４２」

「エ：４２０×３１」「オ：３２０×４１」

５つの式が発表されました。この中で子どもたちが大きくなりそうだと考えたのは，エとオの式でした。

「かけられる数・かける数の左の数字がどちらも４と３だから，同じになる？」

「でも，かけられる数を大きくした方が答えが大きくなるよ」

「十の位のかけ算だけ見ると，エが２×３でオが２×４だからオが大きくなる」

新しい理由が発表される度に，子どもたちの心も揺れていきます。「わかんなくなってきた」という素直な声も聞こえてきました。

最後は計算で最大値の式を確かめます。その結果，「オ：３２０×４１＝１３１２０」で最大値の式なることが分かりました。

実は，この答えになる式はもう１つあります。その式を，この後探していきます。

「カ：４１０×３２」も答えが１３１２０で最大になることが分かりました。答えが最大の式が２つあることが見えてきました。すると今度は，新しい発見が生まれてきました。

「おもしろいことがあります。カのかけられる数の３２０を１０でわると，オのかける数の３２になる。カのかける数の４１を１０倍すると，オのかけられる数の４１０になる」

「÷１０して×１０したら答えは同じになる」

「だったら最初の式もそうなっている。２１０×４３と４３０×２１も同じ答え」

「３１０×４２と４２０×３１も同じ」

「÷１０して×１０をすると同じになるんだ」

「エレベーターになっているんだ」

「でも，これって一の位に０があるからできるんだね」

答えが最大になる式探しを進めながら，答えが同じになる式の秘密にも気が付いていくことができました。気がついたら，随分とたくさんの計算練習をしていたことになった１時間でした。目的意識のある計算練習は，子どもたちも喜んで取り組みます。

教科書問題から発展

 学校図書のかけ算単元末にある問題を提示して，授業をスタートします。

「２１×２４の筆算にチャレンジしよう」

子どもたちはノートに計算を進めていきます。答えは「５０４」です。

２問目を提示します。今度は，「１２×４２」の計算です。この段階では，まだ子どもたちは何も気がついていません。

計算を進め，答えが求められた時点で「同じだ」「反対になっている」などの声が聞こえてきました。何かに気がついたようです。答えが「５０４」になることを確認したあと，その声を聞いていきます。

「式が反対になっている」

「一の位の数字と十の位の数字が反対になっている」

「反対になるけど，答えは同じになっている」

「それはたまたまでしょ」

「いつでもかもしれないよ」

子どもたちは，式の一の位と十の位が入れ替わっても答えは等しくなることに気付いてきました。この発見は，この問題だけの偶然なのでしょうか。この段階では，偶然だと考える子どもが多数を占めました。

そこで，別の式で実験を行うことにします。「２３×６４」と「３２×４６」です。式の一の位と十の位が入れ替わった式です。計算が始まってしばらくすると，「同じだ」「すげー」と声が聞こえてきます。この問題の答えも，両者「１４７２」で等しくなりました。１問目の発見は，この問題でも当てはまりました。まだ，この発見を怪しんでいる子どももいましたが，「秘密が分かった」という声が聞こえてきました。この声を共有していきます。

「この問題の式の一の位の３と４をかけると１２。十の位の２と６をかけると１２」

「どちらもかけた答えが同じになっている」

「あっ，だったら最初の問題もそうなっている。一の位の１×４＝４。十の位の２×２＝４で同じ」

「一の位と十の位の数字をかけて答えが同じなら，かけ算の答えも同じになるんだ」

子どもから，答えが同じになる式の新しい視点が生まれてきました。そこで，この視点の正しさを別の式で確かめます。「１２×８４」と「２１×４８」を計算します。式は，前述の視点に合致したものです。計算が始まってしばらくすると，「やっぱり同じだ」「１００８にどっちもなった」と声があがります。それと同時に，この視点を使って別の式の計算を始める子どもの姿も見えてきました。子どもたちが勝手に式作りへと動き出した姿です。

そこで，残りの時間は答えが同じになる式探しを子どもたちがそれぞれ行うことにしました。答えが同じ式を発見した子どもには，その式を発表してもらいます。「４８×４２」「８４×２４」や「１２×６３」「２１×３６」などの多数の式が発表されました。この場面は，個別指導の部分とも言えますね。

最初はさせられていた計算問題でしたが，途中から子どもたち自らが問いを見出し，目的意識を持って計算に取り組んでいった１時間となりました。

暗算ＶＳ筆算 どちらが簡単？

２けたをかけるかけ算の学習の一コマです。子どもたちに次のように投げかけます。

「暗算と筆算，どちらが簡単ですか」

子どもからは，「使い分けたらいい」という声が聞こえてきました。鋭い指摘です。そこで，どのように使い分けたらよいのかを考えさせます。

「繰り上がりのない計算は暗算。繰り上がりのある計算は筆算」

「かける数が小さい数の時は暗算。大きい数の時は筆算」

「筆算はどんな数でも大丈夫だから，最初から筆算にしておいた方がいい」

「かけられる数・かける数の一の位が５より小さいときは繰り上がらないから暗算。５より大きいときは繰り上がるから筆算」

子どもたちなりに，計算式を分解して２つの計算方法を使い分ける方法を考えていくことが出来ました。鋭い考え方が子どもでもできるのですね。

その後，いくつかの問題を解き進めていきました。２３×３の問題場面です。これは暗算が簡単そうです。ところが，暗算での計算順にズレが生まれました。「３×３＋２０×３」と「２０×３＋３×３」です。一の位の計算が先か，十の位の計算が先かの違いです。

筆算の計算方法を適用すれば一の位を先に計算します。ところが実際に計算を行うと，違う感覚が生まれてきます。

「６０に９をたした方が，９に６０をたすより簡単」

「一の位が０に９をたすのは簡単。一の位の９になにかをたすのは難しい」

「５月２７日にも似た勉強をした。３５＋４６では，７０に１１をたす方が１１に７０をたすより簡単だった」

「他の式でも実験したら，一の位から計算した方　　　　　

が簡単だたよね」

「やっぱり一の位が０だとたしやすいんだね」

９ヶ月以上前の学習と関連付ける子どもたちの見方にびっくりしました。

その後，２４×４，２５×４で本当に十の位を先に計算する方が簡単かを実験します。その結果，ほとんどの子どもたちが一の位を先に計算する方法に簡便さを実感しました。

きまり発見で計算練習

 東洋館出版社から発刊されている板書シリーズの３年生下巻にある問題を使って，授業をスタートしました。この日の私の想定は，板書シリーズの流れを作ることでした。

最初に，次のように投げかけます。

「２□×２□の計算をします。□には同じ数が入ります」

子どもたちに数字を選択させます。「７」を□に入れることになりました。従って，計算は２７×２７という式になります。この計算を筆算で行います。

「２７×２７＝７２９」

答えが出ました。今度は，この式をもとに次のように投げかけます。

「かけられる数の２７を１増やします。かける数の２７を１減らします。２８×２６に式を変身します」

すると，子どもからは「答えは同じ」という声が聞こえてきます。よい声が生まれてきました。この声の意味をクラス全体で読解します。

「式の数が１増えて１減ったんだから，答えは同じだよ」

「たし算でも同じことがあったよね。だから，これも同じだよ」

「でもさあ，それはたし算でしょ。これはかけ算だから違うんじゃない？」

「同じ」を巡って両者の声が生まれてきました。こうなると，子どもたちは早く計算をして確かめたくなります。

計算の結果は，「７２８」となりました。答えは「７２９」よりも１小さくなったのです。想定外の結果になった子どもたちもいました。

さて，この結果を見た子どもたちは，次の問題場面を創り始めます。

「だったら，式の数をまた１増やして１減らしたら，答えはまた１減るね」

「だから，２９×２５なら７２７になるんじゃないなか？」

多くの子どもは，この予想に自信満々です。そこで，実際に計算で確かめます。

すると，答えは「７２５」となり，またまた子どもの予想を裏切る結果となりました。ところが，子どもはこの結果をもとに，新しい予想をしていきます。

「わかった！答えの減り方は，ー１，ー３，ー５となるんだ」

「減る数の差は，２ずつになるんだ」

「だから，ー７，－９と続いていく」

答えの数の減り方に新しいきまりを発見したのです。そこで，このきまりが本当なのかを確かめていきます。

「３０×２４＝７２０」

「やっぱり，５減った」

「３１×２３＝７１３」

「おー，７減った」

子どもたちのきまりの予想は正しかったようです。

授業当初に感がていたプラントは異なる展開となりましたが，子どもたちはきまりを発見しながら楽しく計算に取り組むことができた１時間でした。

明日はGAKUTOセミナー！

 明日２月１９日（土）はGAKUTOセミナーです。すでに満席の企画です。

当初は対面とオンラインのハイブリッド型の予定でしたが，新型コロナ感染拡大中の状況を踏まえ，オンラインで全てを行うこととなりました。対面枠を確保するために時計とにらめっこして申し込まれた先生方，申し訳ありませんでした。次回の対面開催をお待ちください。

さて，オンライン開催ではありますが，盛り上げていきますからね！　オンラインでも，いかに対面のような臨場感を醸し出せるのか，なんとか工夫をしていきます。楽しみにされてください。明日，お会いできることを楽しみにしています。

筆算を使わずに計算する

 ３年生「２けたをかけるかけ算」の学習場面です。これまでに筆算を使わずに計算する方法を考えて取り組んできました。かけられる数を位毎に分解する「片方サクランボ」方式と，かけられる数・かける数の両方を位毎に分解する「両方サクランボ」方式の２つの方法が子どもから生まれてきました。

子どもたちに，次のように投げかけます。

「両方サクランボ・片方サクランボは，どんな計算でもできるのかな」

先ずは，４２×３５を両方の方法で計算してみます。計算を終えが子どもからは，次のような声が聞こえてきました。

「両方サクランボは，（サクランボで分けた数字を結ぶ）線が多くなってごちゃごちゃする」

「かけ算を４回もするから，難しい」

「十の位の計算と一の位の計算が混じっていてごちゃごちゃする」

「数字が多くて，計算ミスをしそう」

「でも，両方サクランボは正確にできるんじゃないかな」

「片方サクランボは，（数字を結ぶ）線の数が少ないから分かりやすい」

「かけ算が２個しかないから分かりやすい」

「でもさあ，４２という中途半端な数をかけるからやりにくい」

子どもからは，２つの計算方法についての長所と短所を指摘する声があがってきました。全体としては，片方サクランボが分かりやすいという声が多数を占めました。

そこで，「他の式で，片方サクランボと両方サクランボを実験しよう」と投げかけます。すると，この声に対して「だったら，使い分けたらいい」と声があがってきました。「使い分ける」の意味をクラス全体で読解していきます。

「速く計算したいなら片方サクランボ」

「でも，数字が中途半端だと計算を間違えるかもしれない」

「だったら正確にやりたいなら，両方サクランボがいい」

「両方サクランボは間違えないもんね」

「でもさあ，線がごちゃごちゃする」

「だったら，線を色分けしたらいいよ」

「計算は間違えたら意味がないから，両方でやればいいんじゃないの」

使い分けのアイディアに対しても，両面の声が聞こえてきました。

ここで，９７×８６の式を提示します。数字を見た子どもから「１００に近い数だ」「大変そう」との声があがります。子どもたちは，今度の計算は難しそうだと直感したようです。

その後，計算に取り組みます。正確に計算ができると考えていた両方サクランボですが，実際に計算をすると計算間違いをする子どもが続出しました。一方，片方サクランボは速く，しかも間違えずに計算できる子どもが多くなりました。

計算後の子どもたちに，取り組んだ気持ちを聞いてみます。

「片方は速くて正確にできた」

「両方は時間もかかるし，間違えてしまう」

「百の位の計算になったらどうなるのかなあ？」

「そうなると両方とも難しくなりそう」

子どもたちから，考える数値の範囲を百の位に拡張する声が生まれてきました。子どもが対象範囲を自ら拡張するよき姿が生まれてきました。

たこ焼きは何個？

「たこ焼きは全部で何個ありますか」と尋ね，右の画像を提示します。

子どもたちは，一生懸命に縦と横のたこ焼きの数を調べていきます。

縦23個，横12個のたこ焼きが並んでいることが分かります。では，ここから先はどのようにしてたこ焼きの数を求めるのでしょうか。

「かけ算で計算する」と声があがります。しかし，これまでに子どもたちが学習しているのは，かける数が一の位のかけ算のみです。

そこで聞こえてきたのが，「サクランボにしたらいい」という声です。位毎に数字を分ける計算方法です。１年生のたしざんの学習から取り組んでいるアイディアです。これなら計算できそうだと子どもは考えたのです。

最初に子どもから生まれたサクランボ計算は，23も12も分解する方法です。左のように位毎に分解し，20×10＋３×２=206となります。「両方サクランボ」と子どもたちが名付けた分かりやすい方法です。

　一方，「片方サクランボでも計算できる」という声も聞こえてきました。かけられる数が二位数のかけ算は既習です。従って，その数は分解しなくても計算は出来ます。かける数の12だけ分解すると，23×２＋23×100＝276となります。

　先ほどの両方サクランボとは，答えが異なります。一体これは，どういうことでしょうか。子どもたちの頭の中も混乱してきます。

　やがて子どもから，「両方サクランボは，全部の位をかけないとダメなんじゃないのかな」と声があがります。先ほどの計算では，まだ計算していない場所があるという声です。全部の位の数をかけると，３×２＋20×２＋３×10＋10×10＝276となります。全部の位の数字をかけることで，片方サクランボと同じ答えになることが見えてきました。

　この後，37×17，15×42を「片方サクランボ」「両方サクランボ」で計算していきます。「片方サクランボは計算が早くできる」「式が短くていい」と声があがります。両方サクランボに対しては，「時間がかかるけど正確」と声があがります。

未習の計算を，既習の計算方法を活用することで乗り越えることができた１時間でした。