基準量を意識する

次の問題を提示します。

「１ｍ〜１０ｍの青と赤のテープがあります。青のテープの長さは赤のテープの長さの□倍です。赤と青のテープの長さは何ｍですか」

この問題提示で，子どもたちが次のように声をあげます。

「青は赤より長いね」

「でもそれは，□が１より大きい数のときだけだよ」

「０．７倍なら青の方が赤より小さくなる」

「１倍なら青と赤は同じだね」

具体的な数値を例示しながら，子どもたちは問題場面をイメージ化していきました。

□が２倍の場合を考えます。青が２ｍなら赤が何ｍかを考えます。子どもからは「１ｍ」「４ｍ」の２つの声が聞こえてきます。

「青は赤の２倍だから，青は１ｍ」

「赤が４ｍなら，もし『赤は青の２倍』という問題ならいいんだけど」

基準量を赤にするか青にするかで，見方が変わるという説明が生まれてきました。

次に，青が４ｍの場合を考えます。この問題で生まれてきたのが，図を使ったものです。

「赤が基準だから①。青はその２倍だから②になる」

基準となる赤を①という数値と図に置き換えたことで，問題場面のイメージ化が図れました。この図から４ます関係表のような比例関係も見えてきました。

その後，□を０．５倍，２．５倍と変化させていきます。小数倍になっても，基準量は変化しません。２倍と同様に考えることができます。図でも同様のことが見えてきます。

基準量を見つけること，またその大きさを１と置き換えると考えやすくなることが見えた１時間でした。

比例はあるかな？

今日はオープンスクールでした。お受験予定の保護者方が参観に来られる授業公開です。

子どもたちに「比例はあるかな」と言って，１つの正六角形を提示します。これを見ただけで，子どもたちの話がスタートします。

「まだないよ」

「比例は２つはいるよ」

「３ついるよ。だって，もし最初が５で２番目が１０だとしたら，＋５なのか×２なのか変化が分からない」

「３番目が１５なら比例だけれど，２０なら比例にはならない。だから３つは知りたい」

比例と判断するための最小情報量の議論が進められました。既習と自然につながったよい意見でした。

次の変化を提示します。１つ目の六角形の周りを囲むように六角形を６個並べていきます。子どもたちは，「辺の数」「面の数」と考えますが，いずれも比例はしていません。比例はないのでしょうか･･･。

しばらくすると「ありました」と声がします。「くっついている所以外のかどっこ」と，その場所を示す声がします。これで「あー，本当だ」「えっ？」と両方の声があがります。さらにしばらくして「出っ張っているところ」と声があがります。この声で，一気にこの言葉の意味が共通理解できました。飛び出している頂点の個数を言っているのです。

出っ張っている頂点は１２個です。最初は６個です。２倍の関係です。

しかし，これだけではまだ比例とは決められません。そこで，３周目で実験します。子どもたちはノートにパターンブロックの六角形をなぞって３周目を作図します。しかし，ノートに入りきらない子どもが多数いました。「描けません」「はみ出します」と声があがります。作図の限界です。だからこそ，比例の考えを活用するよさもあるのですけどね。

さて，完成したホワイトボードの図形確認します。出っ張っている頂点数は１８個でした。１周目の６個から３倍になっています。これなら比例と断定できそうです。

比例関係が確定できれば，４周目も作図をしなくても計算で求められます。６×４で２４個だということがわかります。

参観された保護者の方からは，「私も子どもの頃にこんな楽しい算数授業を受けたかった」とお褒めの言葉をいただきました。子どもの思考が連続していった１時間でした。

 

式が見えない・・・

 子どもたちに，次のように投げかけます。

「ＡとＢの２本のゴムがあります。伸ばすとそれぞれ次のようになりました。何倍に伸びたでしょう」

Ａのゴムデータを提示します。４．８ｍが７．２ｍへと伸びました。子どもたちはノートに向かって計算を始めます。ところが，しばらくすると「どう計算するの？」という戸惑いの声が聞こえてきました。この声の意味を読解します。

「式が分からないってことだよ」

「７．２÷４．８なのか４．８÷７．２なのか決められないんだよ」

わり算の式になることは見えています。しかし，わられる数・わる数の数値を決められないことが戸惑いの原因でした。

すると「４ます関係表にしたらいいよ」と声があがります。これまでの問題解決で困ったときに使ってきた必殺アイテムです。

子どもたちが４ます関係表をノートに書き，式を見つけていきます。ところがまたしても「まってまって」と，戸惑いの声があがります。戸惑いの原因を尋ねます。

「４．８ｍと７．２ｍは分かる。でも，後が分からない」

「３つ目の数字がない」

これまでに子どもたちが取り組んだ問題文には，必ず３つの数字がありました。ところが，この問題場面にはそれは存在しません。すると，次の声があがります。

「７．２ｍの下が□倍だよ」

３つ目の数字ではなく問われている部分の「□倍」という声があがります。「何倍の伸びたのでしょう」と問われています。そこから「□倍」の声が生まれてきました。この部分が見えると，４．８ｍの下も見えてきます。

「分かった。１倍だ」

「どういうこと？」

「だって４．８ｍはそのままってことだから１倍だよ」

もとの長さが４．８ｍなので，ここが１倍になります。これで４ます関係表が完成しました。これで式が見えてきます・・・。

ところがです。困っている子どもたちが多くいます。「赤ちゃんが入らない」と声があがります。比例関係を表す矢印がうまく入れられないのです。４．８ｍを７．２ｍにするための式がすぐに見えてきません。これまではこの部分の式はすぐに見えました。困りました。

すると２人の子どもが，両腕を上下に動かすジェスチャーをしているのが見えました。このジェスチャーの意味を読解します。

「分かった！縦だ」

「縦？」

「縦ならいける」

比例関係を横ではなく，縦で見つけたのです。４．８ｍを１とみなすためには４．８÷４．８と計算します。同じ比例関係式が４ます関係表の反対側にも位置付きます。これで式が見えてきます。７．２÷４．８と計算すれば，何倍かが分かります。

しかし，４ます関係表に縦方向に式を見出すのは初めての経験です。そこで，この見方が偶然なのかを尋ねます。1/5程の子どもは半信半疑です。

４．５ｍのテープが６．２ｍに伸びた場合を考えます。この問題も４ます関係表に整理します。比例関係はやはり縦方向だとすぐに見出すことができました。

４ます関係表の新しい使い方に出合った１時間でした。

あまりが変！

次の問題を子どもたちに提示します。

「１．９ｍのテープを０．３ｍずつ切っていきます。０．３ｍのテープは何本できて，何ｍあまりますか」

式は１．９÷０．３とすぐに見えてきます。小数のままでは計算ができないので，１９÷３として計算します。

計算の結果，答えは「６本できて１ｍあまる」となります。ところが，「違う」「おかしい」と声があがります。一方，その声の意味が理解できず，首をひねっている子どももいます。わりざんの答えは，整数値に直して計算してもそのままでいいと学習しているからです。

「違う」という子どもたちが説明します。

「確かめ算をしたら，０．３×６+１＝２．８だから１．９にならない」

確かに１．９にはなりません。しかし，この説明では十分に納得ができない表情の子どももいます。説明が続きます。

「あまりが１ｍだとしたら，まだ０．３ｍはまだあるよ」

あまりの１ｍの中に０．３ｍがまだあるという説明で子どもたちも納得です。さらに声が続きます。

「だから，あまりはもどしているのだ算にするんだよ」

「あまりはもとの小数点にもどして０．１ｍ」

「これならもう０．３ｍには分けられない」

「確かめ算をすると，０．３×６+０．１＝１．９だから合ってる」

この説明で子どもたちも納得です。

しかし，まだ取り組んだ問題は１問です。そこで，「あまりだけもどしているだ算をするのは，この問題だけのたまたまじゃないの？」と投げかけます。この投げかけに２割ほどの子どもは「そうかもしれない」と考えました。

そこで「２．３ｍのテープを０．５ｍずつ切ります。何本できて何ｍあまりますか」の問題で実験します。結果は，この問題でもあまりだけは「もどしているのだ算」にすることが見えてきました。

解き方が本当に一般化できるのかどうかは，複数の問題で検証することが大切です。科学の世界ではこれが常識ですからね。

 

高知を訪問！

 昨日は高知の小学校を訪問しました。１７学級の算数授業を参観し，その後は，私が３年生に「三角形」の授業を行いました。とてもかわいい子どもたちでした。「ジェスチャーの女神」と私が名付けた女の子は，授業後に「私がジェスチャーしたら，先生は絶対に指してくれるよね」とうれしそうに言いに来てくれました。子どもの素直さ・かわいさは日本中同じですね！

上から２桁・・・

子どもたちに次の問題を提示します。

「１．８ｍで１．２㎏のソースかつ棒があります。１ｍでは何㎏ですか」

４ます関係表を使って，式を求めます。１．２÷１．８という式が見えてきます。この後，子どもたちはこの計算を進めます。

計算が始まってしばらくすと，「割れない」「同じ答えが続く」「割り切れない」と声があがります。答えが「０．６６６･･･」となり小数点以下に６が永遠に続くのです。

この結果を見た子どもから，次の声があがります。

「それなら四捨五入したらいいよ」

「約になるね」

「でも，何の位で四捨五入するの？」

概数で表すアイディアが生まれてきました。しかし，概数の範囲を確定しないと四捨五入はできません。子どもからは２種類の声が生まれてきました。

最初の声は「四捨五入して小数第二位まで求める」でした。この視点だと「約０．６７」になります。

もう一つの視点が「上から２桁の概数にする」でした。ところが，この視点では考えにズレが生まれました。「０．７」と「０．６７」です。

一の位の０をスタートにしたら０．７，小数第一位をスタートにしたら０．６７と概数が変わってしまいます。果たして，どちらの考え方がよいのでしょうか。

子どもたちの話し合いは，一の位の０を意味があるものと捉えるのか否かで判断が分かれました。話し合いは二転三転しましたが，子どもたちが納得したのは次の説明でした。

「もし１．６７という数があるとしたら，この一の位の１は１個あるということだから意味がある。でも，０．６７の０はそもそもないものだから意味はない。だから小数第一位の６から数える」

「１．６７を１０倍すると１６．７になる。最初の一の位の１には意味があるから，１０倍しても残る。でも，０．６７を１０倍すると６．７になる。最初の一の位の０は消えた。最初の０には意味がないから消えた。だから，０．６７を数え始めるのは小数第一位の６から」

この説明に子どもたちも大いに納得しました。形式的に，一の位が０の場合の「上から２桁」のスタートの位置を教えることは簡単です。しかし，それでは論理的思考は育ちません。このような学習過程が大切ですね。

 

きまりがあります！

次のように子どもたちに投げかけます。

「商が割られる数より大きくなる式を引いたら当たりゲームをしよう」

この問題文では，状況がうまくイメージできない子どももいます。

「６÷２＝３だから外れ」

「６÷０．２＝３０だから当たり」

具体的な式が子どもから生まれてきました。具体例があることで，問題場面のイメージ化ができました。この段階で「きまりがあります」という声が聞こえてきました。しかし，この段階ではまだその声は取り上げませんでした。

実際のゲームを始めます。代表の子どもがカードを引きます。引かれたのは「２．２÷０．１１」でした。カードを見た子どもからは，「よし！」「１より小さい」などの声が聞こえてきました。勝利を確信した声やきまりに気づいた声です。しかし，式を見てもすぐに当たりかどうかが分からない子どももいます。そこで，実際に計算をして答えを確かめます。

答えは「２０」です。割られる数の「２．２」よりも大きくなりました。当たりです。この結果から，きまりに気づく声が生まれてきました。

「きまりがあるよ」

「わる数が１よりも小さいと，商は大きくなるんだよ」

「似ているのをかけ算でもやったね。５月２１日にやった小数のかけ算は，１より小さい数をかけると，積も小さくなるでその勉強と似ている」

「でも，それって反対の関係になっている」

「かけ算は増えるけど，わり算は減るでしょ。だから反対になるんだよ」

割る数が１よりも小さいと，商が割られる数よりも大きくなるきまりに気づく声が生まれてきました。さらにこの声をきっかけに，類似の学習を小数のかけ算でも取り組んだことなどが想起されてきました。既習がつながるよき学びの姿が生まれてきました。

しかし，このきまりに完全な自信を持っている子どもはこの時点では７割ほどです。実験した事例がまだ１事例だからです。 

そこで，相手チームのカードを引きます。「３．１３６÷０．６４」が引かれました。先ほどのきまり通りなら，当たりのカードです。喜んでいる子どもたちですが，実際に計算を行い商を確かめます。

結果は「４．９」です。わられる数よりも大きくなったので当たりのカードです。やはり，子どもたちが見つけたきまりは正しかったようです。

その後もゲームを続けます。カードのわる数の大きさによって，「やったー」「終わったー」などの悲喜こもごもの声が聞こえてきました。

本実践は東洋館出版社「板書シリーズ」を参考にしています。