式への違和感

 子どもたちと「次の計算はもどさない算でできるかな」と問いかけ，計算問題に取り組みました。

「０．８÷１．２５」

この問題を板書したと同時に，声があがります。

「できない」

「割る数が割られる数よりも大きいからできない」

「計算はできるけど，こんなお話はないよ」

割る数が割られる数よりも大きい式に対して，違和感を抱いたのです。計算自体は，もどさない算で求めることはできました。しかし，そもそもこの式なるような問題場面はないのではないかと，多くの子どもたちは考えています。これまで彼らが出合ったのは，わる数がわられる数よりも小さい場面が多くを占めていました。だからこそ，今回のような違和感が生まれてきたのです。こんな感覚が自然に生まれてくる子どもたち，素敵ですね。

さて，「０．８÷１．２５」の式になる問題場面はあるのでしょうか？　子どもたちに考えさせました。子どもたちは，かなり頭を悩ませていました。

「１．２５㎤で０．８㎏入る箱があります。１㎤では何㎏入りますか」

この問題を板書してもらいました。問題を見ても，すぐに式は見えてきません。そこで，４ます関係表で問題場面を整理します。その結果，前述の問題は「０．８÷１．２５」の式になることが分かりました。

機械的に式に向き合うのではなく，具体的問題場面をイメージしながら式に向き合える子どもたちに育てていきたいですね。

もどしているのだ算は使える？

子どもたちに次の問題を提示します。

「１．２ｍで７２円のリボンがあります。１ｍでは何円ですか」

問題を見た子どもから，「難しい気がする」「かけざん」「わりざん」と声があがります。子どもたちがノートに書いた式もバラバラでした。

そこで，「どうしたら 式が分かるの？」と尋ねます。子どもからは「４ます表を使ったらいい」と声があがります。そこで４ます表で式を特定します。その結果，式は「７２÷１．２」になることが分かりました。

式が確定すると同時に，子どもたちの声が続きます。

「どうやってやるの」

「まだ習っていないよ」

「もどしているのだ算ならできるよ」

「７２÷１２にして計算したらいいよ」

「答えは６だね。だから答えを１０でわって戻したらいいね」

「５月１７日にやったのと同じだね」

「答えは０．６だね」

子どもたちは，小数のかけ算の計算方法をわり算にも適用しようと考えました。手続き通りに進めることで，一気に答えにたどり着くことができました。

ところがです･･･。首をひねっている子どもの姿が見えました。

「なんか変な気がする」

「１．２ｍで７２円なのに，１ｍで０．６円は安すぎない？」

答えの０．６への違和感が生まれてきたのです。確かめ算で確認します。結果は０．７２円なので，明らかに安すぎであることが分かりました。

では，一体どうしたらいいのでしょうか？ここで生まれてきたのが，次の声です。

「両方１０倍したらいいんじゃないかな？」

「７２０÷１２＝６０になって，１０倍１０倍したから答えの６０を１００で割る」

小数のかけ算の計算方法を適用した考えです。ところが，答えはまたも０．６です。これでは正しい答えにはなりません。安すぎます。この結果を見た子どもから，次の声が生まれてきます。

「だったら，答えはそのままにしたらいいんじゃない？」

論理的な根拠はこの時点ではありません。確かめ算を行います。その結果，１．２ｍで７２円になりました。ところが，この結果を見た子どもから声があがります。

「答え的には合ってる・・・。でもなんで？」

当然の疑問です。いくつかの説明で，子どもたちが最も納得したのは次の声でした。

「１．２ｍで７２円なら，１２ｍでは７２０円になる。７２÷１．２も７２０÷１２もどちらも１ｍの値段を求める。同じリボンだから，１２ｍで７２０円で考えても答えは同じ」

「４÷２を片方だけ倍にするには，わるイメージが違う。でも，両方倍にするとわるイメージが同じになる」

抽象の世界で浮かんだ疑問を，具体の世界に置き換えることで，わられる数・わる数に同じ数をかけても商は変わらないことを納得していくことができました。形式ではなく，論理で計算の手続きを納得していくことが，小数のわり算の導入場面では大切になります。

交換・分配法則を図で説明する

子どもたちに，次のように投げかけます。

「縦３．６ｍ，横２．４ｍの畑の面積は何㎡ですか」

問題自体は簡単です。子どもたちは，３．６×２．４＝８．６４（㎡）と計算で答えを求めます。

２問目を提示します。「２．４×」まで板書をすると「小数」「答え同じ？」「３．６なら答え同じ」と声があがります。かける数を子どもたちが作り出してきました。かける数が３．６なら答えは同じになるという声が生まれてきました。さらに子どもたちは，答えが同じになる理由を説明してきます。

「３．６と２．４が反対になっただけだから同じ」

「さっきの面積と同じだよ。②を縦２．４ｍ横３．６ｍと考えたら同じだよ」

「回転しただけで，同じだよ」

①の問題では，意図的に図を提示していません。ところが②の問題で，①と②の図は回転しただけで同じになることを自分たちで作図を行い説明してきました。抽象的な式を具体的な図に置き換えることで，答えが同じになることが一目瞭然になりました。別の形で表すよさを実感できました。

すると，この結果を受けてさらに声があがります。

「それなら体積も同じじゃない」

「縦×横×高さでも同じだよ」

「今の畑の面積が高さ２ｍなら，２．４×３．６×２になる」

「３．６×２．４×２でも同じだ」

「２．４×２×３．６でも同じだね」

「２×２．４×３．６でも同じ」

「数字が入れ替わっても，見る向きが違うだけで同じ」

面積での説明場面が，体積場面に置き換わっても同じように考えることができるという見方が生まれてきました。３つの式も，見取り図を使うことで式の順序を入れ替えても答えが変わらない理由が一目瞭然になりました。

４問目を提示します。「１×３＋０．４×３」の式です。「＋があるから難しい」と声があがります。ところがこの声を受けて，「図に書けば簡単」と声があがります。

「１×３は縦１㎝横３㎝の図。０．４×３は縦０．４㎝横３㎝の図。どちらも横は３㎝だから，くっつけると長方形になる。この縦は１＋０．４で１．４㎝。横は３㎝で同じだから，式は１．４×３にできる」

「式が短くなった」

小数のかけ算の分配法則も，図を使うことで小数にも活用できることが見えてきました。

 

出雲で公開授業をしました！

 島根県出雲市の学校で，公開授業を行いました。４年生に「平行」の導入場面の授業を行いました。子どもたちが本来持ち合わせている平行の感覚を数学的な言葉で整理していくことができました。垂線に当たる部分の長さへの着目や，上下の辺の関係を「平ら」「坂道」という子どもらしい言葉で表現できる素敵な子どもたちでした！

帰りは久しぶりに出雲大社を訪れました。出雲大社は二礼八拍一礼が正式なお参りのルールだそうです。知りませんでした。通常は二礼四拍一礼に省略しているそうです。

また，鳥居の近くには歌手・竹内まりあさんのご実家がありました。ここからあの素敵な歌の源泉が生まれたのですねえ！

小学校算数「きまり発見」の授業のつくり方 発刊！

明治図書から私の新刊「小学校算数『きまり発見』の授業のつくり方」が発刊されました。昨年度担任した１年生の数学的な考え方をどのように高めていったのかを踏まえ，小学校６年間を通した数学的な考え方のステップを実践ベースで紹介した本です。

目次は以下の通りです。

第１章　「きまり発見」の授業とは

１　子どもたちはきまり発見が大好き

２　１年生でもきまりは発見できる

３　きまり発見は「おもしろいこと」

４　きまり発見から学びは深化する

第２章　「きまり発見」の授業づくりのポイント

１　発見するのも，聞いているのも「一部の子ども」と心得る

２　一部の発見をクラス全体に広げる

３　子どもが発する素直な言葉に着目する

４　教師も「おもしろいこと」をおもしろがる

５　偶然性の指摘で一般化を促す

６　演繹の世界に進むことを急がない

７　発展的・統合的に考えることを強いない

第３章　「きまり発見」の授業で働かせたい数学的な考え方

１　帰納的な考え方

２　類推的な考え方

３　発展的な考え方

４　一般化の考え方

５　演繹的な考え方

６　特殊化の考え方

７　関数的な考え方

８　統合的な考え方

第４章　やってみよう！「きまり発見」の授業

１年／大きさくらべ（2）どちらの箱が大きいのかな？

統合

１年／いくつといくつ８個なら７段になる？

統合　帰納　類推　発展

１年／ひきざん（2）ひく数と答えの数の関係は？

帰納　類推　発展

２年／たし算とひき算のひっ算（2）虫食い算は2種類できる!?

帰納　類推

２年／かけ算（1）○の数と式の数の関係にきまりはある？

一般化　類推　特殊化

３年／小数特別だからひき算なの？

帰納　演繹

３年／１けたをかけるかけ算の筆算このきまりはもう限界？

帰納　演繹　類推　発展

３年／２けたをかけるかけ算の筆算もう１問くらい実験をしないと，違うかもしれない！

帰納　発展　演繹

４年／小数いってんはちじゅうなな？いってんはちなな？

演繹　特殊化　統合

４年／垂直・平行と四角形「それぞれ」ってどういう意味？

発展　演繹　統合

４年／式と計算の順じょ－なのにたし算に変わる!?

特殊化　一般化　演繹

４年／面積面積の増え方が２㎠ずつなのはなぜ？

帰納　一般化　演繹

５年／合同な図形本当にどの三角形も180°になるの？

一般化　演繹

５年／合同な図形いくつの情報で合同な図形が作図できる？

帰納　類推　一般化

６年／比例と反比例図をかくのが面倒くさい！

関数　一般化

６年／場合を順序よく整理して長方形でも２倍方式は使えるの？

統合　一般化

 詳細・お求めは，以下のアドレスからお願いします。

https://www.meijitosho.co.jp/detail/4-18-374123-3

「筆算いらない」「なんで？」

次の問題を提示します。

「１ｍの重さが０．８㎏のうまいんだ棒があります。同じ種類の長さの違ううまいんだ棒が４つあります。次の式は，それぞれのうまいんだ棒の重さを求める式です。０．８㎏より軽いのはどれですか」

式を４つ提示します。

０．８×０．９　０．８×３．７　０．８×１．４　０．８×０．０８

式を見つめた子どもたちから，声があがってきます。

「筆算はいらないね」

「なんで？」

「暗算もいらないよ」

「なんで？」

筆算（計算）が必要なのかを巡って，子どもの考えにズレが生まれました。子どもたちが説明します。

「０．８×３．７は，１よりも大きい数をかける。だから答えは０．８よりも大きくなる」

答えが大きくなる説明は，イメージしやすいようです。ところが，１よりも小さい数をかけるイメージが，言葉だけではうまく伝わりません。そんなとき，「図にしたら分かる」と声があがります。

板書のような図を描き，１ｍの位置や０．９ｍの位置を確認します。線分図の中に，１ｍや０．９ｍが位置付くことで，各長さの時の重さの大小関係が見えやすくなりました。図に置き換える発想が，それまで曖昧だった世界をすっきりとさせてくれました。

 

計算いらない！

 子どもたちに「答えはいくつになるかな？」と投げかけます。

１問目は，９１４×８３です。筆算で多くの子は計算しました。答えは７５８６２です。

２問面を提示します。９１．４×８．３の式です。この式を見た子どもから，次のような声があがります。

「筆算はいらない」

「前に小数点をつけただけだよ」

子どもたちは，計算しなくても答えが分かると考えています。しかし，この声はまだクラス全体には共有されていません。そこで，この言葉の意味を共有していきいます。

「９１．４は９１４を１０でわった」

「８．３は８３を１０でわった」

「だから，答えは１０×１０で１００でわる」

「答えは小数点が３個左に動いて７５．８６２」

子どもたちは，数字が同じであれば筆算を改めて行う必要はないと考えました。小数の計算を整数の計算に直して計算したときの考え方と「同じ」だとする見方が生まれてきたのです。

この見方を使えば，同じ数字の並びであれば，どんな計算も答えを求めることができます。

その後も同じ数字の並びの問題に取り組んでいきました。授業終盤には，次の声が生まれてきました。

「同じ考えを使えば，他の数の計算でも使える」

「０．９１４×８３を半分にして，０．４５７÷４１．５も計算できるね」

「÷２と÷２をしているから，答えも÷２だね」

「違うよ。÷２÷２だから÷４だね」

１０倍，１００倍などと同じように計算のきまりを活用したら，変身していく計算が１０の倍数でなくても答えを見つけられるという声です。よき見方が生まれてきました。