明日は福岡！

 福岡に来ています。明日は福岡県内の小中一貫校にお邪魔します。６年生と９年生の授業を参観します。その後，私も授業公開を行います。

中等部に当たる授業を参観するのは久しぶりです。楽しみですねえ！

24㎤になる式

 本日は本校のICT研究会でした。子どもたちに「２４㎤になる立体の体積を求める式を読解しよう」と投げかけます。「読解ってなんですか？」と想定外の声があがります。まあ，この意味が分からなければ，問題ができませんからね。

２４㎤の体積に取り組む前に，１２㎤になる式で練習します。この後に作成するプレゼンのイメージ化を共有する意味もありました。

「３×１×４」の式を提示します。子どもたちは縦３㎝，横１㎝，高さ４㎝の直方体をイメージしました。そこで，私がヒント１の画面を提示します。そこにあったのは，１㎤が３個つながった画像です。想定外の画像に，驚きの声があがります。その後，「Ｌ字？」「平ら」「高くなっている」などの声があがります。ヒント１だけでは，立体の状況を確定することはできません。

そこで，ヒント2の画面を提示します。立体を真横から見たものです。Ｌ字になっています。これで立体の全体像が見えてきました。

最後に完成した立体の全体像を提示します。

子どもたちには，２４㎤になる立体を前記の手順で好きなアプリを自由に選択させ作成させていきました。

活動が始まると，想定以上に時間がかかりました。子どもたちはきれいに立体を並べようとします。さらに，どの向きから写真を撮るのかにもこだわりました。写真を撮影しようとした瞬間に積み上げたブロックにタブレットがぶつかれ崩れ去る・・・なんていう現象も起きました。思い他，画面作成に時間がかかったしまいました。

さて，最後に「３×３×４ー１×１×３×４」という式を作ったＭ子の式を，全員で読解します。式の前半は，すぐにイメージができました。縦・横3㎝・高さ４㎝の直方体です。問題は，式の後半です。かけ算に３つではなく４つの数字が登場するからです。

この「１×１×３×４」は，さらに前半と後半に分解します。「１×１×３」と「×４」です。前者は，１㎤が３個縦につながった形です。後者は，この立体が４本あるということです。イメージ化できた子どもが，見取り図を作成します。他の子どもたちは手元のブロックで式に合う形を作成します。

Ｍ子のプレゼンの最後の全体像の画面では，子どもたちから拍手が起きました。

同じ式でも，様々な見方ができることに気付いた１時間でした。

「−３」の意味は？

前回の学習で疑問として残った「ー３」を取り上げます。

「辺+角ー３のー３は何？」

合同な多角形を作図するために必要な情報数を求めるためには，「辺+角ー３」という式でその数が求められるという考えが生まれてきました。この式で情報数を求めることはできましたが，「ー３」の意味が分かりませんでした。

そこで，三角形と四角形の２つ図形を限定して提示します。三角形は「２本の辺の長さと２つの角度」，四角形は「４本の辺の長さと１つの角度」で作図ができます。

「この図の中に，ー３はあるのかなあ？」

このように尋ねます。しばらくすると「分かった」「あ！」という声があがります。

「情報がない場所だ」

「三角形なら２つの角度ど１本の辺」

「四角形なら３つの角度」

使わない情報という逆転の発想が生まれてきました。子どもたちもこの視点に納得です。五角形でも確かめます。五角形の場合も，作図に使わない情報は３つでした。

「ー３」というのは作図に使わない情報数であることが分かった時間でした。

 

四角形に必要な情報数は？

前回の学習の続きを行いました。

「角の情報があれば，４つの情報で合同な四角形は作図できるだろうか？」

辺の長さ４本の情報だけでは合同図形の作図ができませんでした。しかし，「角度が分かればできるかも」との声があがりました。そこで本時は，角度の情報を与えて実験を行うことにしました。

先ずは「辺３本，角１つ」の情報で実験します。しかし，うまく作図できません。

そこで，「辺２本，角２つ」の情報で実験です。しかし，これでもうまくできません。「右端の長さが分かればできる」と声があがります。そこで，右端の辺の長さが３㎝であることを教えます。すると「できました」の声が次々とあがってきます。つまり，合計５つの情報があれば合同な四角形の作図ができたことになります。

しかし，これは偶然かもしれません。そこで，「辺４本・角１つ」の情報５つのパターンでも実験を行います。結果は，このパターンでも作図ができました。

すると，子どもの中から声があがってきます。

「それなら五角形は７つあればできるね」

「３つ→５つと２つ増えたから，次も２つ増えて７つの情報だね」

「辺の数と角の数をたして，３を引いたらいいんだよ」

「三角形なら３＋３−３で３つ。四角形なら４＋４−３で５つ。五角形なら５＋５−３で７つ」

「おー，すごい！」

「こわーい！」

合同な五角形の作図に必要な情報数７つを導き出す理由が，２つ生まれてきました。中でも後者の式を使った見方には，驚きの声が子どもからあがってきました。

そこで，五角形を実験します。「辺４本・角３つ」の７つの情報で実験です。しばらくすると，「できました」と声があがります。五角形は子どもたちの予想通り，７つの情報で作図できることが分かりました。

すると今度は，「それなら六角形は２つ増えて９つだね」「６＋６−３でも９つだね」と声があがります。ここまでの結果をもとに，類推的に場面を拡張する声です。ここで時間となりましたが，最後に子どもから聞こえてきたのが，子どもたちが「こわい」と感じた「６＋６−３」の式の中の「−３」の意味でした。「なんで３を引くの？」という疑問が生まれてきました。

 

合同の図形を作図しよう！

「合同な図形を作図しよう」

子どもたちに投げかけます。その後，隠しておいた三角形を一瞬だけ提示します。「もう１回見たい」と声があがりますが，もう見せられないことを伝えます。すると，この条件を聞いた子どもたちが話し始めます。

「辺の長さと角度があればできそう」

「辺の長さだけでできるんじゃない？」

「昨日の勉強で，四角形は長さだけではできなかったよ」

「でも今日は三角形だから，長さだけでもできるかもよ」

「長さと角度でもできるんじゃない」

「角度だけでもできる？」

「いや，角度だけではできないよ」

提示された形が三角形であることは，認識できています。しかし，分かっているのはそれだけです。そこで，辺の長さや角の大きさが分かれば作図できるのではないかという声が生まれてきました。

そこで，先ずは辺の長さ３本の情報だけで作図ができるのかを実験します。結果は，見事合同図形が作図できました。

するとこの結果を見た子どもから，「長さが１本と角度が２つでもできるかも」と声があがります。そこで，この条件でも実験を行います。見事，この条件でも作図はできました。

すると今度は「長さが２本と角度が１つでもできる」と声があがります。この条件でも，作図はできました。

その後，「角３つもできる」と声があがります。しかし，「それは無理だよ」という声もあがります。「無理だ」という子どもたちが説明します。

「角が同じでも，長いのと短いのができる」

「二等辺三角形だとします。下の角度が同じで上の角度も同じだけど，辺の長さが長いのと短いのができます」（例示の図を描きながら説明）

この説明で，子どもたちも納得します。これで，角だけの情報では合同図形の作図ができないことが分かりました。

するとここで，「三角形は３です」と声があがります。この「３」の意味を共有していきます。

「長さ３本の３．長さ１本と角２つで１＋２の３。長さ２本と角１つで２＋１で３」

「三角形は辺が３本あるから３つの情報なんだ」

「それなら，六角形なら６つできる」

「四角形なら４つできる」

「五角形なら５つでできる」

子どもたちは多角形の辺の本数と合同な作図に必要な情報数が等しくなると考えました。一方，そうはならないという子どももいます。果たして，子どもたちが見出した関係性は正しいのでしょうか。

そこで，「辺が４本」の条件を実験します。４本の長さを教えますが，「それはできないよ」と声があがります。

「だって，昨日の勉強で同じ４本の辺でも，正方形と平行四辺形ができたから，辺だけできないよ」

昨日の学習とつなげることで，辺の情報だけでは作図はできないことが明確になりました。しかし，これだけでは４つの情報で作図ができないことにはなりません。角度の情報があれば４つの情報でも作図ができるかもしれないからです。果たして結果は。この続きは明日に行います。

 

長さだけいいの？

「合同な四角形を見つけよう」と投げかけます。この投げかけだけで，子どもたちが動き出します。

「重ねたらいい」

「だからすぐ分かる」

「長さ・面積・角度が同じだね」

前時の合同条件を自然にふり返る声が生まれてきました。

子どもたちに目を閉じさせ，探していく四角形を提示します。元は青の四角形です。探す対象は赤の四角形です。目を開けてしばらくすると，「④が当たりだ」「⑥も当たりだ」と声が聞こえてきます。なかなかよい感覚をもっています。

さて，ここで子どもたちに「今日は重ねてはだめだよ」と比較条件を提示します。すると「できない」と声があがります。しかし，すぐに「定規と分度器で調べたらできる」と声があがりす。合同の条件が長さ・面積・角度ということは分かっていますので，これらを測定したら合同図形を判別できるという声です。

子どもたちに同じ図形を配布します。定規や分度器を使って測定していきます。最終的に④⑥が合同図形であることが分かりました。測定している中で生まれてきたのが，次の声です。

「長さだけ調べたらいいね」

測定は長さだけでいいのでしょうか。そこで，この声を取り上げます。「長さだけでいい」という声も聞こえますが，「角度もいる」という声もします。このとき生まれてきたのが，４本指を使って例示でした。

「正方形を斜めにすると，平行四辺形みたいになる。形が変わる」

具体例が生まれることで，辺の長さが同じなのに，異なる形が生まれることのイメージが伝わりました。つまり，角度も調べないと合同かどうかを判定できないということも分かってきました。ところが，子どもの声はさらに続きます。

「四角形はそうだけど，三角形は角度いらないんじゃない」

「三角形で辺が同じで違う形ってあるのかな」

合同の図形探しを通して，合同の条件を精査していくこともできました。

 

全く同じ形はどれ？

 「全く同じ形を見つけたら当たり」

このように子どもたちに投げかけます。すると，「簡単だよ」「でも，１㎝位違ったら」と声があがります。そこで「１㎝位違ったら」の言葉の意味を読解していきます。

「全て全部いっしょっていうことだよ」

「長さが同じということ」

「重さも同じ」

「『同じ形』の形を探すから，重さは関係ないよ」

「面積も同じ」

「角度も同じだな」

子どもたちは，「長さ」「面積」「角度」の３つの視点が同じであれば，全く同じ形と判断できると考えました。すると「結構難しいね」と声があがります。「簡単」という当初のイメージは飛んでいきました。さらに，「長さ・角・面積が分からないと比べられないね」と難しさの要因に着目した声があがります。ところが「それなら重ねて比べたらすぐ分かるよ」と声があがります。よい比べ方の視点が生まれてきました。

その後，青の三角形と全く同じ形をカードを裏返して探していきます。

１枚目のカードが引かれます。「うーん，違う？」「小さい」などの声が聞こえてきます。すると今度は，目元に定規を当てたり，２本指で間を測定したりしながら，２つの三角形の長さや角の大きさを目測する姿が見えてきました。目測ではありますが，長さと角度に視点を当てたよき調べ方です。子どもたちの目測では，赤の三角形の辺の長さ短く見えるなどの理由で同じではないと考える子どもが多数いました。

最後は，２つの図形を重ねて調べます。結果は，外れです。赤の方が辺の長さが小さいことが分かりました。

３枚目に引かれたのは，もとの三角形とは反対向きの図形でした。すると，この図形を引いた子どもが，カードを回転させます。この行動の意味を読解します。

「裏返しても同じ形なら，当たりでいいんだよ」

「だから，カードを裏返したんだよ」

「裏返した方が比べやすいね」

そこで，カードを裏返した状態で「全く同じ形」かを考えさせます。裏返すと，青の図形と同じに見えてきます。目測でも辺の長さ，角度が同じに見えました。最後に，２つの図形を重ねて調べます。結果は，ぴったり重なります。

その後も同様に当たりを見つけていきます。２枚の図形を重ねることで，長さ・角度・面積の３つの視点で全く同じ図形を見つけることができることが分かりました。このような図形を合同と言いますが，合同の見方をゲームを通して引き出した１時間でした。

値引きセール

次の問題を子どもに提示します。

「関大スーパーで値引きセールをしています」

条件不足の問題文です。「これでは分からない」「数字がない」と不足の条件を指摘する声があがります。

そこで，具体的場面を提示します。

「おにぎり　１５０円→２００円」

「ハンバーガー　２００円→１５０円」

この場面を見た子どもたちが，話し始めます。

「どっちも５０円引いている」

「同じ安さだ」

「違うよ」

「始めの値段が違うから同じでいいの？」

定価が異なる品物を，同じ５０円引きしても，安さが同じだと考えることに違和感があるようです。そこで，「より安くなっているのを，どうやって比べたらいいの？」と尋ねます。

ここで生まれてきたのが，「１／３」という分数でした。突然生まれてきた分数に，首をひねる子どももいます。そこで，「１／３」の意味を共有していきます。

「（円を描いて）おにぎりは５０円，５０円，５０円になる（円を３等分する）。引いたのはこの中の５０円だから，１／３」

「１５０円がもとの値段。安くなったのは５０円。だから５０／１５０」

「これは１／３と同じ」

分数の分母をもとの値段，分子を値引きした値段と考えることで，分数表記の意味が見えてきました。

この考え方を使って，ハンバーガーも分数表記していきます。ピザ（円）の図を使うことで，値引き分が１／４であることが分かります。

値引きは１／３と１／４なので，１／３のおにぎりの方がより安くなったことが，図と分数で確認することができました。

私の想定とは異なる展開となりましが，子どもの分数を使いたくなるアイディアをもとに納得を引き出すことができました。

 

倍々にはならない？

次の問題を提示します。

「あすかさんは犬を飼っています。次のように成長の様子をメモしました」

その後，「生まれてから１０日目−６３０ｇ」「生まれてから３０日目」までを提示します。すると子どもたちが動き出します。

「３０日目は６３０×３になる」

「３倍になるね」

「そんなに大きくなる？」

「人間だったら，５歳の体重が１０㎏なら１０歳で２０㎏。２０歳で４０㎏。４０歳で８０㎏・・・となるよ。そんなのあるかな？」

提示されたデータに比例関係を見出そうとした子どもたちですが，現実を考えるとそれはありえないことに気づいていきます。

そんな子どもたちに「生まれたときの体重は何㎏ですか」と尋ねます。この問いかけに対して，式がすぐに見える子どもが多くいました。一方，式に自信がない子どもは４ます関係表を使って確かめていました。そこで，４ます関係表を板書させます。そして，「４ます関係表の□はなんですか？」と尋ねます。

「生まれたときの体重」

「だから１倍」

「基準だから１倍」

基準量を意識した声が生まれてきました。４ます関係表は比例関係を前提にした問題解決のツールです。このツールを使いこなすために必要な見方が「基準」の意識です。その見方が，４ます関係表の□の意味を考えることを通して生まれてきました。

基準が見えることで，式も「６３０÷１．８」になることが見えてきます。

この見方を活用すれば，「生まれてから３０日目の体重が８４０ｇで２．４倍になった」という情報でも生まれたときの体重を求めることができます。

３０分ほどの授業でしたが，基準意識を明確した学習を進めることができました。

 

鹿児島県大隅地区算数研修会のご案内

 ９月１４日（土）鹿児島県鹿屋市で算数研修会が開催されます。研修会のテーマは，

「子どもと共に創る算数授業づくりと学級経営」

です。この講座では，算数の授業づくりだけではなく学級経営についても話をします。学級経営と授業づくりは切っても切り離せない関係にあります。授業がうまい先生は学級経営も素敵です。学級経営が素敵な先生は授業もうまいのです。こんな関係を，この研修会では明らかにしていきます。

算数授業は尾﨑学級の授業ビデオをもとに開設をしていきます。

相棒は筑波大学附属小の森本隆史先生です。森本先生も算数授業＆学級経営の達人です。２人で鹿児島の研修会を盛り上げていきます。

本研修会は鹿児島県外の先生方も参加できるそうです！　詳細は以下をご覧ください。

申込は以下のアドレスからどうぞ！

R６年度　大隅地区算数部会研修会の申込みについて (google.com)

基準はどっち？

子どもたちに次のように投げかけます。

「赤白青黄のリボンの長さは何ｍですか」

当然これだけでは，長さは分かりません。「数字を教えてほしい」などの声があがります。

そこで，問題文の続きを提示します。

「青は赤の３．５倍です」

「赤は２ｍです」

子どもたちがノートに青の長さを求めていきます。ところが，わり算の計算・かけ算の計算をしている姿が見えます。さらに「えっ，えっ」「青が長い？」などの戸惑いの声が生まれてきます。すると，「図を描けば分かるよ」と声があがります。抽象を具体に置き換える見方です。そこで，図を板書します。

「赤が①だとしたら，青が３．５になる」

「赤が基準」

「言葉にしたら，青＝赤×３．５になる」

図に置き換えることで，リボンは青が長くなることや「２×３．５」のかけ算の式で求められることが見えてきました。ところがここで，「３．５×２でもいいんじゃない？」と声があがります。答えはどちらも同じになります。すると，この声に対する説明が続きます。

「それは違います。３．５×２にしたら，青は３．５ｍの赤の２倍という話になる」

「４ます表にしたら分かるよ」

「横に×３．５するから，式は２×３．５」

図・４ます表・問題文・基準にこだわることで，正しい求め方に辿り着きました。

続いて，２問目を提示します。

「黄は赤の０．６倍です」

「黄は１．２ｍです」

２問目は先ほどよりもハードルが高かったようです。「わかんない」「わり算？かけ算？」という戸惑いの声が聞こえてきました。

困ったときには図や４ます表を使うことを，子どもたちはこれまでの学習で経験しています。最初に生まれてきたのが，図を使うアイディアです。

黄のリボン１．２ｍを描きます。その下に，赤のリボンを描きます。０．６倍という問題文があるので，１．２ｍの長さの０．６倍の長さの線を引きます。この図を見た子どもから，「あれ？」「赤の方が長いよ」と声があがります。基準量を赤とみるか青とみるかで，図が異なります。この話し合いで，赤の方が長いことが見えてきました。しかし，この図を見ただけでは式を特定することはできません。

そこで，４ます表を使って考えます。「１．２ｍ」「□ｍ」を書き入れます。その下に倍の数を記入します。ところがここでもズレが生まれます。「１倍」をどちらの下に記入するかについてです。

「１．２ｍが１倍じゃないよ」

「基準は赤でしょ。だから赤の□ｍの下が１倍」

「基準は１問目も２問目も変わっていないよ」

「１問目と同じ言葉にしたら，黄＝赤×０．６だよ」

「だから式は１．２÷０．６だよ」

基準意識が繰り返し出てきた１時間でした。基準意識は算数学習では低学年から繰り返し活用される大切な見方・考え方です。

 

全国算数授業研究大会へ

今年の夏も，筑波大学附属小学校を会場に「全国算数授業研究大会」が開催されます。

期日は８月５日（月）〜６日（火）の２日間です。今回は１０本の公開授業を行います。例年の大会の授業公開数のほぼ倍です。

言葉だけでの議論ではなく，実際の授業を通して授業者の提案内容を議論していくのが本大会の特徴です。実際の授業を通して議論するのですから，言い訳はできません。子どもの素直な反応が授業の善し悪しを語ります。とてもシビアな研究大会です。しかし，シビアだからこそ授業者もそれを斬るパネラーにも本質を見抜く目や本質に導く授業力が問われます。

暑い夏に算数に熱い志をもった先生方が集う全国算数授業研究大会へお越しください。

お申し込みは以下からお願いします。

https://www.kokuchpro.com/event/020ae90f6bd7555bbe9ed5497edf3ad3/

 

基準量を意識する

次の問題を提示します。

「１ｍ〜１０ｍの青と赤のテープがあります。青のテープの長さは赤のテープの長さの□倍です。赤と青のテープの長さは何ｍですか」

この問題提示で，子どもたちが次のように声をあげます。

「青は赤より長いね」

「でもそれは，□が１より大きい数のときだけだよ」

「０．７倍なら青の方が赤より小さくなる」

「１倍なら青と赤は同じだね」

具体的な数値を例示しながら，子どもたちは問題場面をイメージ化していきました。

□が２倍の場合を考えます。青が２ｍなら赤が何ｍかを考えます。子どもからは「１ｍ」「４ｍ」の２つの声が聞こえてきます。

「青は赤の２倍だから，青は１ｍ」

「赤が４ｍなら，もし『赤は青の２倍』という問題ならいいんだけど」

基準量を赤にするか青にするかで，見方が変わるという説明が生まれてきました。

次に，青が４ｍの場合を考えます。この問題で生まれてきたのが，図を使ったものです。

「赤が基準だから①。青はその２倍だから②になる」

基準となる赤を①という数値と図に置き換えたことで，問題場面のイメージ化が図れました。この図から４ます関係表のような比例関係も見えてきました。

その後，□を０．５倍，２．５倍と変化させていきます。小数倍になっても，基準量は変化しません。２倍と同様に考えることができます。図でも同様のことが見えてきます。

基準量を見つけること，またその大きさを１と置き換えると考えやすくなることが見えた１時間でした。

比例はあるかな？

今日はオープンスクールでした。お受験予定の保護者方が参観に来られる授業公開です。

子どもたちに「比例はあるかな」と言って，１つの正六角形を提示します。これを見ただけで，子どもたちの話がスタートします。

「まだないよ」

「比例は２つはいるよ」

「３ついるよ。だって，もし最初が５で２番目が１０だとしたら，＋５なのか×２なのか変化が分からない」

「３番目が１５なら比例だけれど，２０なら比例にはならない。だから３つは知りたい」

比例と判断するための最小情報量の議論が進められました。既習と自然につながったよい意見でした。

次の変化を提示します。１つ目の六角形の周りを囲むように六角形を６個並べていきます。子どもたちは，「辺の数」「面の数」と考えますが，いずれも比例はしていません。比例はないのでしょうか･･･。

しばらくすると「ありました」と声がします。「くっついている所以外のかどっこ」と，その場所を示す声がします。これで「あー，本当だ」「えっ？」と両方の声があがります。さらにしばらくして「出っ張っているところ」と声があがります。この声で，一気にこの言葉の意味が共通理解できました。飛び出している頂点の個数を言っているのです。

出っ張っている頂点は１２個です。最初は６個です。２倍の関係です。

しかし，これだけではまだ比例とは決められません。そこで，３周目で実験します。子どもたちはノートにパターンブロックの六角形をなぞって３周目を作図します。しかし，ノートに入りきらない子どもが多数いました。「描けません」「はみ出します」と声があがります。作図の限界です。だからこそ，比例の考えを活用するよさもあるのですけどね。

さて，完成したホワイトボードの図形確認します。出っ張っている頂点数は１８個でした。１周目の６個から３倍になっています。これなら比例と断定できそうです。

比例関係が確定できれば，４周目も作図をしなくても計算で求められます。６×４で２４個だということがわかります。

参観された保護者の方からは，「私も子どもの頃にこんな楽しい算数授業を受けたかった」とお褒めの言葉をいただきました。子どもの思考が連続していった１時間でした。

 

式が見えない・・・

 子どもたちに，次のように投げかけます。

「ＡとＢの２本のゴムがあります。伸ばすとそれぞれ次のようになりました。何倍に伸びたでしょう」

Ａのゴムデータを提示します。４．８ｍが７．２ｍへと伸びました。子どもたちはノートに向かって計算を始めます。ところが，しばらくすると「どう計算するの？」という戸惑いの声が聞こえてきました。この声の意味を読解します。

「式が分からないってことだよ」

「７．２÷４．８なのか４．８÷７．２なのか決められないんだよ」

わり算の式になることは見えています。しかし，わられる数・わる数の数値を決められないことが戸惑いの原因でした。

すると「４ます関係表にしたらいいよ」と声があがります。これまでの問題解決で困ったときに使ってきた必殺アイテムです。

子どもたちが４ます関係表をノートに書き，式を見つけていきます。ところがまたしても「まってまって」と，戸惑いの声があがります。戸惑いの原因を尋ねます。

「４．８ｍと７．２ｍは分かる。でも，後が分からない」

「３つ目の数字がない」

これまでに子どもたちが取り組んだ問題文には，必ず３つの数字がありました。ところが，この問題場面にはそれは存在しません。すると，次の声があがります。

「７．２ｍの下が□倍だよ」

３つ目の数字ではなく問われている部分の「□倍」という声があがります。「何倍の伸びたのでしょう」と問われています。そこから「□倍」の声が生まれてきました。この部分が見えると，４．８ｍの下も見えてきます。

「分かった。１倍だ」

「どういうこと？」

「だって４．８ｍはそのままってことだから１倍だよ」

もとの長さが４．８ｍなので，ここが１倍になります。これで４ます関係表が完成しました。これで式が見えてきます・・・。

ところがです。困っている子どもたちが多くいます。「赤ちゃんが入らない」と声があがります。比例関係を表す矢印がうまく入れられないのです。４．８ｍを７．２ｍにするための式がすぐに見えてきません。これまではこの部分の式はすぐに見えました。困りました。

すると２人の子どもが，両腕を上下に動かすジェスチャーをしているのが見えました。このジェスチャーの意味を読解します。

「分かった！縦だ」

「縦？」

「縦ならいける」

比例関係を横ではなく，縦で見つけたのです。４．８ｍを１とみなすためには４．８÷４．８と計算します。同じ比例関係式が４ます関係表の反対側にも位置付きます。これで式が見えてきます。７．２÷４．８と計算すれば，何倍かが分かります。

しかし，４ます関係表に縦方向に式を見出すのは初めての経験です。そこで，この見方が偶然なのかを尋ねます。1/5程の子どもは半信半疑です。

４．５ｍのテープが６．２ｍに伸びた場合を考えます。この問題も４ます関係表に整理します。比例関係はやはり縦方向だとすぐに見出すことができました。

４ます関係表の新しい使い方に出合った１時間でした。

あまりが変！

次の問題を子どもたちに提示します。

「１．９ｍのテープを０．３ｍずつ切っていきます。０．３ｍのテープは何本できて，何ｍあまりますか」

式は１．９÷０．３とすぐに見えてきます。小数のままでは計算ができないので，１９÷３として計算します。

計算の結果，答えは「６本できて１ｍあまる」となります。ところが，「違う」「おかしい」と声があがります。一方，その声の意味が理解できず，首をひねっている子どももいます。わりざんの答えは，整数値に直して計算してもそのままでいいと学習しているからです。

「違う」という子どもたちが説明します。

「確かめ算をしたら，０．３×６+１＝２．８だから１．９にならない」

確かに１．９にはなりません。しかし，この説明では十分に納得ができない表情の子どももいます。説明が続きます。

「あまりが１ｍだとしたら，まだ０．３ｍはまだあるよ」

あまりの１ｍの中に０．３ｍがまだあるという説明で子どもたちも納得です。さらに声が続きます。

「だから，あまりはもどしているのだ算にするんだよ」

「あまりはもとの小数点にもどして０．１ｍ」

「これならもう０．３ｍには分けられない」

「確かめ算をすると，０．３×６+０．１＝１．９だから合ってる」

この説明で子どもたちも納得です。

しかし，まだ取り組んだ問題は１問です。そこで，「あまりだけもどしているだ算をするのは，この問題だけのたまたまじゃないの？」と投げかけます。この投げかけに２割ほどの子どもは「そうかもしれない」と考えました。

そこで「２．３ｍのテープを０．５ｍずつ切ります。何本できて何ｍあまりますか」の問題で実験します。結果は，この問題でもあまりだけは「もどしているのだ算」にすることが見えてきました。

解き方が本当に一般化できるのかどうかは，複数の問題で検証することが大切です。科学の世界ではこれが常識ですからね。

 

高知を訪問！

 昨日は高知の小学校を訪問しました。１７学級の算数授業を参観し，その後は，私が３年生に「三角形」の授業を行いました。とてもかわいい子どもたちでした。「ジェスチャーの女神」と私が名付けた女の子は，授業後に「私がジェスチャーしたら，先生は絶対に指してくれるよね」とうれしそうに言いに来てくれました。子どもの素直さ・かわいさは日本中同じですね！

上から２桁・・・

子どもたちに次の問題を提示します。

「１．８ｍで１．２㎏のソースかつ棒があります。１ｍでは何㎏ですか」

４ます関係表を使って，式を求めます。１．２÷１．８という式が見えてきます。この後，子どもたちはこの計算を進めます。

計算が始まってしばらくすと，「割れない」「同じ答えが続く」「割り切れない」と声があがります。答えが「０．６６６･･･」となり小数点以下に６が永遠に続くのです。

この結果を見た子どもから，次の声があがります。

「それなら四捨五入したらいいよ」

「約になるね」

「でも，何の位で四捨五入するの？」

概数で表すアイディアが生まれてきました。しかし，概数の範囲を確定しないと四捨五入はできません。子どもからは２種類の声が生まれてきました。

最初の声は「四捨五入して小数第二位まで求める」でした。この視点だと「約０．６７」になります。

もう一つの視点が「上から２桁の概数にする」でした。ところが，この視点では考えにズレが生まれました。「０．７」と「０．６７」です。

一の位の０をスタートにしたら０．７，小数第一位をスタートにしたら０．６７と概数が変わってしまいます。果たして，どちらの考え方がよいのでしょうか。

子どもたちの話し合いは，一の位の０を意味があるものと捉えるのか否かで判断が分かれました。話し合いは二転三転しましたが，子どもたちが納得したのは次の説明でした。

「もし１．６７という数があるとしたら，この一の位の１は１個あるということだから意味がある。でも，０．６７の０はそもそもないものだから意味はない。だから小数第一位の６から数える」

「１．６７を１０倍すると１６．７になる。最初の一の位の１には意味があるから，１０倍しても残る。でも，０．６７を１０倍すると６．７になる。最初の一の位の０は消えた。最初の０には意味がないから消えた。だから，０．６７を数え始めるのは小数第一位の６から」

この説明に子どもたちも大いに納得しました。形式的に，一の位が０の場合の「上から２桁」のスタートの位置を教えることは簡単です。しかし，それでは論理的思考は育ちません。このような学習過程が大切ですね。

 

きまりがあります！

次のように子どもたちに投げかけます。

「商が割られる数より大きくなる式を引いたら当たりゲームをしよう」

この問題文では，状況がうまくイメージできない子どももいます。

「６÷２＝３だから外れ」

「６÷０．２＝３０だから当たり」

具体的な式が子どもから生まれてきました。具体例があることで，問題場面のイメージ化ができました。この段階で「きまりがあります」という声が聞こえてきました。しかし，この段階ではまだその声は取り上げませんでした。

実際のゲームを始めます。代表の子どもがカードを引きます。引かれたのは「２．２÷０．１１」でした。カードを見た子どもからは，「よし！」「１より小さい」などの声が聞こえてきました。勝利を確信した声やきまりに気づいた声です。しかし，式を見てもすぐに当たりかどうかが分からない子どももいます。そこで，実際に計算をして答えを確かめます。

答えは「２０」です。割られる数の「２．２」よりも大きくなりました。当たりです。この結果から，きまりに気づく声が生まれてきました。

「きまりがあるよ」

「わる数が１よりも小さいと，商は大きくなるんだよ」

「似ているのをかけ算でもやったね。５月２１日にやった小数のかけ算は，１より小さい数をかけると，積も小さくなるでその勉強と似ている」

「でも，それって反対の関係になっている」

「かけ算は増えるけど，わり算は減るでしょ。だから反対になるんだよ」

割る数が１よりも小さいと，商が割られる数よりも大きくなるきまりに気づく声が生まれてきました。さらにこの声をきっかけに，類似の学習を小数のかけ算でも取り組んだことなどが想起されてきました。既習がつながるよき学びの姿が生まれてきました。

しかし，このきまりに完全な自信を持っている子どもはこの時点では７割ほどです。実験した事例がまだ１事例だからです。 

そこで，相手チームのカードを引きます。「３．１３６÷０．６４」が引かれました。先ほどのきまり通りなら，当たりのカードです。喜んでいる子どもたちですが，実際に計算を行い商を確かめます。

結果は「４．９」です。わられる数よりも大きくなったので当たりのカードです。やはり，子どもたちが見つけたきまりは正しかったようです。

その後もゲームを続けます。カードのわる数の大きさによって，「やったー」「終わったー」などの悲喜こもごもの声が聞こえてきました。

本実践は東洋館出版社「板書シリーズ」を参考にしています。